組分け

質問

こんにちは。高校数学Ａの問題の解説がわかりません。ヒントでもよいので教えていただけるとありがたいです。

問題：６人の客が３軒の異なる旅館に泊まるとき、何通りの方法があるか。ただし、どの旅館にも少なくとも１人は泊まるものとする。

解答：
　1人も泊まらない旅館があってもよいとすると、その場合の数は３^6通りある。このうち、
　１）２つの旅館が０人となるとき　
　　　１つの旅館に集中するので、３通り
　２）１つの旅館が０人となるとき
　　　宿泊者がいる旅館の選び方は　3Ｃ2＝３（通りー組合せです）
　　　1人の客は２通りの選択ができるので、０人の旅館が１つ決まると、そのそれぞれに対して、２^6通りある。
　　　しかし、このうち２通りは１）に含まれている。
　　　よって、３（２^6－２）通り。

　　　　ーー↑なぜですか？どんな２通りですか？ーー

　　　１）、２）より、
　　　3^6－３－３（２^6－２）＝３（３^5－２^6＋１）＝５４０（通り）

　質問は、
　　＞しかし、このうち２通りは１）に含まれている。
　　＞よって、３（２^6－２）通り。

部分です。解説がわかれば、お願いします。

回答No.2

denbee · ベストアンサー

>　　　1人の客は２通りの選択ができるので、０人の旅館が１つ決まると、そのそれぞれに対して、２^6通りある。
>　　　しかし、このうち２通りは１）に含まれている。
>　　　よって、３（２^6－２）通り。
>
>　　　　ーー↑なぜですか？どんな２通りですか？ーー

２^6通りには、旅館Ａ，Ｂがあったときに、
　・６人全員がＡを選択した場合
　・６人全員がＢを選択した場合
が含まれるからです。

お礼

回答ありがとうございます。

そういうものだと覚えることにします。

回答No.4

stomachman

ANo.3のコメントについてです。

> 「う～ん」という感じです。

そですか。う～んですか…

　えっとね、３軒の旅館が「ぐー荘」「ビジネスホテルちょき」「旅館ぱー」だと思って下さいな。そうすれば、ジャンケンとの関係が見えてくるでしょう。

「勝負が付く」のは、
A: どれかひとつの旅館に泊まる人が、６人のうち誰もいない場合
　たとえば、だれも「ぐー荘」に泊まらず、「ビジネスホテルちょき」と「旅館ぱー」にばらけた、という場合はこれです。（ジャンケンなら、だれもぐーを出さず、ちょきかぱーにばらけた、ということです。）

「あいこ」になるのは、
B: どの旅館にも６人のうち少なくとも1人が泊まった場合
　（ジャンケンなら、ぐー、ちょき、ぱーにばらけた、ということです。）
または
C: 全員が同じ旅館に集中した場合
　（ジャンケンなら、全員が同じものを出した、ということです。）

以上A,B,Cで全部の場合を尽くしている。

　ANo.3で、ジャンケンの問題と本質的に同じ、と申し上げたのは、こういう対応が付けられる、という意味です。

　で、このご質問ではBの場合の数が求められているから、

Bの場合の数　＝ 全ての場合の数　―　Aの場合の数　ー　Cの場合の数

お礼

回答ありがとうございます。
なんとなくわかりました。回答に感謝します。

回答No.3

stomachman

つい最近出た質問（→ http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3962635.html )も、本質的に全く同じ問題です。ご参考まで。

お礼

回答ありがとうございます。

＞http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3962635.html

拝見しました。「う～ん」という感じです。

回答No.1

noname#77845

旅館を、Ａ・Ｂ・Ｃとします。
(2)の1つの旅館が0人の時を、「旅館Ａが0人の時」とします。
このとき旅人は旅館Ｂか旅館Ｃを選択できるので2^6通りの組合せ方があります。
しかし、この2^6通りの中には「全て旅館Ｂ」又は「全て旅館Ｃ」を選んだ場合が含まれていますよね。
これは(1)の時の、2つの旅館が0人の時と同じになります。

判ります？

お礼

回答ありがとうございます。

指摘されると、「ああ、そういうものなのか…」という感じです。