組み分け

質問

６人の人を３つの部屋に分けたい。
どの部屋も少なくとも１人は入るものとして、
わける方法は何通りあるか。

（１）人も部屋も区別しないで、人数の分け方だけを考えた場合何通りか。

（２）人は区別しないが、部屋は区別して考えた場合何通りか。

（３）人は区別するが、部屋は区別しないで考えた場合何通りか。

この問題はいつも悩んでしまいます…

こつなどがありましたら、
教えてください。

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.1

suko22

(1)普通に人数の組み合わせを考えます。
　（1、1、4）（2、2、2）（3、1、2）の3通り。

(2)人を○で表します。
　○　○　○　○　○　○
　　＾　　＾　　＾　　＾　　＾

＾へ区切り棒｜が2箇所入れれば、前から部屋Ａ，Ｂ，Ｃの人数と数えることができます。。

　たとえば○｜○○○｜○○だと（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（1,3,2）となります。

この区切り棒2本の入れ方は5箇所の＾から2つ取り出す組み合わせの数に等しいから5Ｃ2＝10通り。

別解）(1)の結果を使います。
前から部屋Ａ，Ｂ，Ｃの人数とすると
　（1、1、4）と分けたとき、1,1,4の並べ方は3！/2！＝3通り
　（2、2、2）とわけたとき、2,2,2の並べ方は1通り
　（3、1、2）と分けたとき、3,1,2の並べ方は3！/2！＝3通り
よって、3+1+3＝10通り

(3)（1、1、4）と分けたとき、人を区別するとその入り方は6Ｃ1*5Ｃ1/2！＝15通り（6人の中から1人を選び、残った5人の中から1人を選べば、自動的に4人は決まる。ただ、1人、1人の並べ方は重複しているので、2！で割っておく）
　　　　　　　　　　　　　とするか、6Ｃ4＝15通り（6人から4人を選べば残り2人は自動的に1人、1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　人ときまる）
　（2、2、2）とわけたとき、6Ｃ2*4Ｃ2/3！＝15通り
　（3、1、2）と分けたとき、6Ｃ3*3Ｃ1＝60通り
よって、15+15+60＝90通り

図を描きながらやるとわかりやすいかもしれません。

お礼

図もついてあったので、
とても分かりやすかったです。
本当にありがとうございました!^^*