組み分け

質問

何人かの人をいくつかの部屋に分ける。
ただし各部屋は十分大きく、定員については考えなくてよい。

（１）７人を２つの部屋A,Bに分ける。
（i）部屋Aに３人、部屋Bに４人となるような分け方は全部で[アイ]通り。
（ii）どの部屋も１人以上になるわけ方は全部[ウエオ]通り。
そのうち、部屋Aの人数が奇数であるわけ方は[カキ]通り。

（２）４人を３つの部屋A、B、Cに分ける。
どの部屋も１人以上になるわけ方は[クケ]通り。

（３）大人４人、子供３人の計７人を３つの部屋A,B、C煮分ける。
(i）どの部屋も大人が１人以上になるわけ方は全部で[コサシ]通り。
そのうち、３つの部屋に子供３人が１人ずつ入るわけ方は全部で[スセソ]通り。
（ii）どの部屋も大人が１人以上で、
かつ、各部屋とも２人以上になるわけ方は全部で[タチツ]通り。

この問題がでるとぎくっとなってしまいます…。

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いします(><)

回答No.1

suko22

(1)i　部屋Ａに3人を選ぶ場合の数は7Ｃ3。残り4人は全員Ｂに入るから、求めるわけ方は7Ｃ3＝35通り。（7Ｃ3*4Ｃ4でも同じです）

　ii　部屋Ａ，Ｂへの人数の分け方をまずは考えて、それぞれに異なる7人の入り方を数えます。数え方は上のiと同じです。
　　　Ａ｜Ｂ
　　（1　、6）　7Ｃ1＝7通り（7Ｃ1*6Ｃ6でも同じです）・・・※1
　　（2　、5）　7Ｃ2＝21通り　
　　（3　、4）　7Ｃ3＝35通り　・・・※2
　　（4　、3）　7Ｃ4＝35通り
　　（5　、2）　7Ｃ5＝21通り　・・・※3
　　（6　、1）　7Ｃ6＝7通り
よって、7+21+35+35+21+7＝126通り

そのうち部屋Ａの人数が奇数になるのは、上の※1,2,3の場合だから、7+35+21＝63通り

(2)上と同じように考えます。
　Ａ｜Ｂ｜Ｃ
（1、　1、　2）　4Ｃ1*3Ｃ1＝12通り
（1、　2、　1）　同じように計算して12通り
（2、　1、　1）　12通り
よって、合計12+12+12＝36通り

(3)i　大人が4人で各部屋Ａ，Ｂ，Ｃに1人ずつ入るとき、その分け方は上の(2)とまったく同じ考え方で36通り。
残り3人の子供の入り方は、どこの部屋に入ってもいいという条件から、子供1人当たり部屋Ａ，Ｂ，Ｃへの入り方3通り、3人では3＾3＝27通りの入り方がある。
よって、大人の入り方が36通りそれに対して子供の入り方が27通りあるので、トータル36*27＝972通り

＞そのうち、３つの部屋に子供３人が１人ずつ入るわけ方
(2)の続きです。
大人の入り方は、(2)より以下のようになる。
　Ａ｜Ｂ｜Ｃ
（1、　1、　2）　4Ｃ1*3Ｃ1＝12通り
（1、　2、　1）　同じように計算して12通り
（2、　1、　1）　12通り

子供3人が1人ずつそれぞれの部屋に入るとき、子供の入り方は
　Ａ｜Ｂ｜Ｃ
（1、　1、　1）　3Ｃ1*2Ｃ1＝6通り

よって、12*6+12*6+12*6＝216通り

ii　大人の入り方は上と同じで
　Ａ｜Ｂ｜Ｃ
（1、　1、　2）　4Ｃ1*3Ｃ1＝12通り　・・・※4
（1、　2、　1）　同じように計算して12通り　・・・※5
（2、　1、　1）　12通り　・・・※6

題意を満たすには子供の入り方は上記スセソの場合と以下の場合である
　　Ａ｜Ｂ｜Ｃ
　※4に対して
　（1、　2、　0）　3Ｃ1＝3通り
　（2、　1、　0）　3通り
　計6通り
　※5に対して
　（1、　0、　2）　3Ｃ1＝3通り
　（2、　0、　1）　3通り
　計6通り
　※6に対して
　（0、　1、　2）　3Ｃ1＝3通り
　（0、　2、　1）　3通り
　計6通り

よって、12*6+12*6+12*6＝216通り

スセソ+216＝216+216＝432通り

お礼

分かりやすくて,
とてもたすかりました^^

ありがとうございました^^*