センター物理 振動 再
振動数fの音源を装着したボールを2個用意する、どちらもスイッチを入れて音が鳴っている状態で一つのボールは手元に置いておき、他の一つを鉛直上向きに投げ上げ、ボールを投げ上げた位置でうなりを観測した。
このとき観測されるうなりの単位時間当たりの回数nの時間変化を表すグラフの概形はどうなるか、最も適当なものを次の(1)～(4)のうちから一つ選べ。
ただし、ボールを投げた瞬間の時刻をt=0,投げ挙げたい地にボールが落下してきた時刻をt=Tとし、ボールの初速度の大きさは音速よりも十分に小さく、空気抵抗は無視できるものとする
解説 ボールの初速度の大きさをv[0],音速をVとする、ボールを投げ上げた直後は手元のボールからの振動数fの音と、投げ上げたボールからの振動数Vf/(V+v[0])の音の2つの音が重なり合う
このときに、観測される単位時間当たりのうなりの回数n[1]は
n[1]=f-Vf/(V+v[0])
=v[0]f/(V+v[0]) ボールが最高点に達するまで、ボールの速さは小さくなっていき、最高
点で一瞬静止する、ボールが最高点に達したときに発せられた音と手元のボールから発せられた音の振動数はどちらもfなので、うなりは観測されない。
ボールが投げ上げた位置に落ちてくる直前にはボールの速さは初速度の大きさv[0]と等しいので、手元のボールからの振動数fの音と落下してきたボールからの振動数Vf/(V-v[0])の音が重なり合う。
このときに、観測される単位時間当たりの
うなりの回数n[2]はn[2]=Vf/(V-v[0])-f=v[0]f/(V-v[0])
よってn[2]-n[1]=v[0]f/(V-v[0])-v[0]f/(V+v[0])=(2v[0]^2)f/(V^2-v[0]^2)>0
となりn[2]>n[1]となるので(2)が正解となる。
解説の投げ上げたボールからの振動数Vf/(V+v[0])とあるのですが、Vf/(V+v[0])となる理由は投げ上げたボールが最高点に達するまでの速度をv[0]とした時、観測者から離れて行くようにv[0]で離れて行くので、ボールから観測者に向かって行く1秒間の音波の波の長さがV+v[0]に伸びて、波長が(V+v[0])/fになるので、観測者から見ると音波の速度はVで変わらないけど、波長が伸びたので、1秒間に振動する回数が減ってV=f'(V+v[0])/fからf'=Vf/(V+v[0])になったということですよね？
ボールが最高点に達したときにうなりが観測されない理由は最高点ではボールの速度が0になるのでボールから観測者に向かって行く音波の1秒間辺りの波の長さはVのままで1秒間に出る波の個数はfで1秒間に1回振動する時の波の長さ、つまり波長がV/fで音速は観測者から見てVなので波長も速度も変わっていないので、振動数も変わっていないからということですよね？
ボールが投げ上げた位置に落ちてくる直前にボールの速さが初速度v[0]になるのは力学的エネルギー保存則から位置エネルギーが投げ上げ位置と同じだから速度も同じになるということですよね？
落下してきたボールからの振動数がVf/(V-v[0])になるのは落下してくる時、ボールは観測者に向かってv[0]で向かってくるので、音波が1秒間に進む波の長さがV-v[0]になってその1秒間の波の長さの中にf個の波があるので1個辺りの波の長さ、つまり波長が(V-v[0])/fになるということですよね、そして音速はVなのでV=f''(V-v[0])/fからf''=Vf/(V-v[0])となるということですよね？
以上の確認の方をお願いします、間違った考え等がありましたら教えてください。
お礼
ありがとうございます。これですっきりしました。