４次方程式の因数分解

質問

x^4＋1をドモアブルの公式を利用して因数分解したいのですが、
どのように公式を使って解けばいいのか分かりません。

お願いします。

回答No.2

kumipapa

複素平面上の単位円上の点 x を考えて、
x = e^(iθ) = cosθ + i sinθ
x^4 = (cosθ + i sinθ)^4 = cos(4θ) + i sin(4θ) = -1
ここで、-1 = cos((2n+1)π) + i sin((2n+1)π) であるから、
4θ = (2n+1)π を満たす θ (0≦θ＜2π) を求めればよい。
4θ = (2n+1)π　⇔ θ = (2n+1)π/4
θ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4
x^4 + 1 = (x - e^(iπ/4))(x - e^(i3π/4))(x - e^(i5π/4))(x - e^(i7π/4))

回答No.1

KappNets

x^4=-1=cos(pai)+i*sin(pai)
に対してドモアブルの公式を最単純に理解して使うと
x1=cos(pai/4)+i*sin(pai/4) [=1/2^(1/2)+i/2^(1/2)]
が解の一つです。ただし、-1 を２乗すると 1 になることから
x2=-x1
も解です。
４倍すると pai になる独立な角度として pai/4 以外に (3/4)*pai があります。従って
x3=cos(pai*3/4)+i•sin(pai*3/4) [=-1/2^(1/2)+i/2^(1/2)]
が解の一つです。ただし、-1を２乗すると1になることから
x4=-x3
も解です。