二次不等式の問題です

質問

娘に質問されて困っています。
「xについての二次不等式x^2-2ax+2a^2+2a-1<0が解を持つようなaの範囲を求めなさい」
この解答と分かりやすい解説をどなたかいただけないでしょうか、よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

解法１
y=左辺の平方を完成して
y=(x-a)^2+a^2+2a-1
となります。
このグラフは
x^2の係数が1で正なので
下に凸の放物線となり
対称軸の所(x=a)で最小値をとります。
この最小値が負であれば不等式が解をもつから
a^2+2a-1<0
であれば良い。これからaの範囲を求めればよい。
(a+1)^2<2
-√2<a+1<√2
∴ -1-√2<a<-1+√2

解法2
左辺=0のxの二次方程式が異なる2個の実数解を持つようなaの条件をもとめればよい。
判別式D/4=a^2-(2a^2+2a-1)=2-(a^2+2a+1)=2-(a+1)^2>0
より
(a+1)^2-2<0
(a+1+√2)(a+1-√2)<0
これを解いて
-1-√2<a<-1+√2 ...(答え)

お礼

解法を２ついただいたのでベストアンサーとさせて頂きます。
ありがとうございました。

回答No.3

bgm38489

簡単に解き方を言えば、この不等式が解をもつには、ｙ=左辺のグラフは下向きであるので、ｙ＜０のところ、すなわちｘ座標より下に出てなければいけないということです。ということは、ｘ座標と二つの点で交わる。左辺＝０とした方程式が、二つの異なる解を持つ。すなわち、判別式>０。解答は他の回答者にお任せするが、流れはこんなとこ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

解というのは実数解のことでしょうか。だとすると、
左辺の判別式 > 0となるようなaの範囲を求めればよいことになります。
判別式D/4 = a^2 - (2a^2 + 2a - 1) = -a^2 - 2a + 1 > 0
a^2 + 2a - 1 < 0
この、aに関する2次不等式の左辺 = 0とおいて得る2次方程式の解を求める。
a^2 + 2a - 1 = 0
a = -1 ± √(1 + 1) = -1 ± √2
∴-1 - √2 < a < -1 + √2

お礼

判別式を応用するのですね。
ありがとうございました。