ランダムウォークのマルコフ性の証明
Y_1 , Y_2 , …, Y_n , … を、同分布でそれぞれ独立である確率変数列であるとし、
P(Y_i = 1) = p , P(Y_i = -1) = q (i=1,2,3,…)
p + q = 1 , 0≦p,q≦1
とします。このとき、{S_n}を、
S_0 = 0
S_n = Σ[i=1～n] Y_i
としたとき、{S_n}はランダムウォークと呼ばれる確率過程に成ります。
この確率過程{S_n}のマルコフ性、つまり、
P( S_n = x+1 | S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) = P( S_n = x+1 | S_{n-1} = x )
を示したいのですが、以下の証明法は正しいでしょうか?何だかあっさりし過ぎていて不安なのですが…。
P( S_n = x+1 | S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P( S_n = x+1 , S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x )/P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P( Y_n = 1 , S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x )/P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P( Y_n = 1 )P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x )/P( S_1 = s_1 , S_2 = s_2 , … , S_{n-1} = x ) =
P(Y_n = 1) = p = P( S_n = x+1 | S_{n-1} = x )
特に3個目の等号が成立するかどうかが不安です。
Y_nはS_1,S_2,…S_{n-1}と独立だから成立するのではないか、と思うのですが、独立という概念に対する理解がまだまだ甘いからなのか、何だか不安です。
