二次関数の応用

質問

お早う御座います。

答えの導出方法についてどうしても諦めきれない問題があるので質問します。

[問い]
二次関数y=ax^2+(2a+2)x-3a+1とx軸の2交点の間の長さが√19であるとき、aの値を求めよ。

既に答えは知ってしまっています。
解答集に載っている導出方法は、x軸との交点で大きい方から小さい方を引き
それを√19と等式で結んだものをaについて解くという方法だったのですが、
私はそれを思い付くことが出来ず、二次関数の軸からx軸との交点を探ろうと
したのでした。
この二次関数の軸はx=-((a+1)/a)の直線であるから、
|(a+1)/a|=(√19)/2(左辺の棒線は絶対値とした)

これが最終的にたどり着いた等式なのですが、二次関数の軸から放物線のx軸
との交点の座標を導き出そうとする試みは間違っていますか？

宜敷御願い致します。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

>二次関数の軸からx軸との交点を探ろうとしたのでした。

解の公式から2解は

x=[-(a+1)±√{(a+1)^2-a(3a+1)}]/a

その差は

2[√{(a+1)^2-a(3a+1)}]/a

これが√19と等しいといっているのです。

2解が存在するとその解は軸から等距離にあります。
これはいいですね。軸を
x=t
2解の軸からの距離をrとすると2解は
t+r　と　t-r
足すと
2t
引くと
2r
この問題は2解の距離ですから『差』が重要です。
なので2r（=2√{(a+1)^2-a(3a+1)}）
軸は消え去ります。
(軸を変えずに放物線を上下してみてください。
軸は一定のまま交点の距離はどうにでも変えられます)

回答No.7

pica_zip

>この二次関数の軸はx=-((a+1)/a)の直線であるから、
>|(a+1)/a|=(√19)/2(左辺の棒線は絶対値とした)

これは変だけれども。
＞これが最終的にたどり着いた等式なのですが、二次関数の軸から放物線のx軸
＞との交点の座標を導き出そうとする試みは間違っていますか？

この方針でも無理矢理出来ないことはない。

放物線の軸の x 座標は ２解 α、βの中点だから
(α+β)/2 = -(a+1)/a

β=√19+α と関連させて、
片方の解 α = (2*(-(a+1)/a) -√19)/2 を得る

これを元の２次関数に代入したもの = 0 が成り立つので
a だけの関係式になり、a　について解ければ求まるはずです。

やってみたけど出ましたよ。
最終的に 3a^2-4a-4=0
解の公式を使うより、計算が大変なのは見なかったことにしましょう。

次のように具体的な交点の座標は考えなくともできます。

与えられている条件は 問題文から２解の間の長さ |β-α| = √19
辺々二乗して、変形すると
(α+β)^2 - 4αβ = 19 --(1)

α+β,αβ は、解と係数の関係で与えられた二次式からすぐわかりますから (1)に代入すると a だけの関係式になり、それを解くと求まるはずです。これも最終的に 3a^2-4a-4=0 がでてきます。

回答No.6

take_5

抜けてたね。。。。。。。笑

＞1/a＝kとすると、x^2+2(k+1)x+k-3＝0となる。

このあとに、以下を付け加える。

この方程式の判別式＝k＾2＋k＋4＝（k＋1/2）＾2＋15/4＞0より、この方程式は、常に異なる2つの解を持つ。

回答No.5

take_5

＞解答集に載っている導出方法は、x軸との交点で大きい方から小さい方を引きそれを√19と等式で結んだものをaについて解くという方法だったのですが、

普通は、そんな解き方はしない。
x軸との交点で大きい方の点と小さい方の点を定めるのが面倒だから。

2次関数だからa≠0、従ってax^2+(2a+2)x-3a+1＝0の両辺をaで割り、1/a＝kとすると、x^2+2(k+1)x+k-3＝0となる。
この方程式の2つの解をα、βとするとその2つがx軸との交点を与える。
解と係数の関係から、α＋β＝-2(k+1)、αβ＝k-3　‥‥(1)
条件より、｜α－β｜＾2＝（α＋β）＾2-4αβ＝19.‥‥(2)
(2)に(1)を代入すると、（2k+3）*（2k-1）＝0となるが、1/a＝kより、（3a+2）*（a-2）＝0。

こんな時、x軸の2交点を具体的に求めないのは定石。
計算が面倒、覚えといたほうが良いだろう。

回答No.4

Quattro99

> この二次関数の軸はx=-((a+1)/a)の直線であるから、
> |(a+1)/a|=(√19)/2(左辺の棒線は絶対値とした)
間違っています。これでは軸がどこにあるのかを考えていることになってしまいます（問題の条件として提示されているのは軸の位置ではありません）。

例えば、y=x^2-1とy=x^2-2とを比べると軸は同じですがx軸との交点が違うのは明らかです。
つまり、軸の位置からx軸との交点を知ることは出来ないということです。

回答No.3

RakuKiraku

結論から言いますと，間違っています。

具体的な二つの2次関数 y=x^2-1 と y=4x^2-1 であなたのやった方法を試してみましょう。

いずれも軸の方程式は x=0，つまり y 軸ですね。さらにこれら二つの2次関数の x 軸との交点は，y=x^2-1 は (-1,0) と (1,0)，y=4x^2-1 のほうは (-1/2,0) と (1/2,0) です。つまり「x軸の2交点の間の長さ」はそれぞれ2と1となり，同じではありません。

つまり，軸の方程式から「x軸の2交点の間の長さ」を出すことはできないのです。

そのため解答集では具体的に（といっても a が入りますが）を用いて方程式を作っているわけです。与えられた2次関数の式は x に関してたすきがけで因数分解できますから，x 軸との交点の座標を出すのは慣れればそんなに大変ではないでしょう。

回答No.1

himajin100000

このグラフ、x軸上で交わった時【y軸】で交わる、と決まっているのでしょうか？