力学・v-tグラフの面積がなぜ移動距離なのか？

質問

v-tグラフの面積が移動距離がになるそうですが、なぜなるのでしょうか？等速直線運動においては面積(=vt)が移動距離(速度×時間変化=vt)と同じになることは直感でわかりました。

　しかし等加速度直線運動になるとv-tグラフに傾き(≠0)が出てきてしまい、「等速直線運動よりは長い距離移動するんだな」ぐらいしかわかりません。さらには曲線のグラフなんかもありもう感覚で、面積＝移動距離は無理になってしまいます。

　教科書や参考書にも理由がなかったのでどなたか教えていただけると嬉しいです。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

はい。私も高校の頃、なぜなのかわからず、もやもやとしていました。
＃１様がおっしゃるとおり、積分と深い関係があります・・・・・というか、積分そのものです。
高校では、物理で微積分を利用しないですからね。
私は大学に入って、微積分を使う物理を学んでから、頭の中の霧が晴れました。

まず、等加速度直線運動を、微積分を使って説明します。
位置をｘ、速度をｖ、加速度をａ、時刻をｔと置きます。
加速度　＝　ａ
両辺を時刻ｔで積分すれば、
ｖ　＝　ａｔ　＋　Ｃｏｎｓｔ．
時刻ｔ＝０　における速度をｖ0 と置くと、ｖ0 ＝ Ｃｏｎｓｔ．
よって、
ｖ　＝　ａｔ　＋　ｖ0
という、速度の式が出来上がりました。
さらに両辺を時刻ｔで積分すれば、
ｘ　＝　１／２・ａｔ^2　＋　ｖ0・ｔ　＋　Ｃｏｎｓｔ．その２
時刻ｔ＝０　における位置ｘを０に決めると、０＝Ｃｏｎｓｔ．その２
よって、
ｘ　＝　１／２・ａｔ^2　＋　ｖ0・ｔ
これは、
ｘ　＝　１／２・ｖｔ　＋　ｖ0・ｔ
とも書けます。
よって、
二辺がｖ0、ｔの長方形
と
底辺ｔ、高さｖの三角形
とを合わせた台形の面積が、距離ｘになります。

今度は、グラフで考えてみましょうか。

横軸をｔ、縦軸をｖとして、ｖ　＝　ｆ（ｔ）のグラフを描くとします。
ｔ＝０～１、ｔ＝１～２、ｔ＝２～３、・・・・・
と、１秒ごとに区間分けします。
すると、
ｔ＝０～１　における移動距離は、大体、
ｆ（０）とｆ（１）の平均　×　１秒
　＝（ｆ（０）＋ｆ（１））／２　×　１秒
です。
同様にｔ＝１～２　における移動距離は、大体、
ｆ（１）とｆ（２）の平均　×　１秒
　＝（ｆ（１）＋ｆ（２））／２　×　１秒
です。
同様にｔ＝２～３　における移動距離は、大体、
ｆ（２）とｆ（３）の平均　×　１秒
　＝（ｆ（２）＋ｆ（３））／２　×　１秒
です。
・・・・・

一方、
グラフで、１秒ごとに縦線を引いて、グラフを、縦に細長い短冊に分けます。
すると、
ｔ＝０～１の部分の短冊の面積は、
底辺をｔ＝０～１、高さをｆ（０）とｆ（１）の平均にした長方形（てっぺんの辺の部分だけ若干直線でないが、あまり気にしない）の面積になります。
ｔ＝１～２の部分の短冊の面積は、
底辺をｔ＝１～２、高さをｆ（１）とｆ（２）の平均にした長方形の面積になります。
ｔ＝２～３の部分の短冊の面積は、
底辺をｔ＝２～３、高さをｆ（２）とｆ（３）の平均にした長方形の面積になります。
・・・・・

以上のことから、移動距離（の合計）は短冊の面積の合計と同じであることがわかったかと思います。

ここで、時刻の区間の幅を１秒より細かくしていくことを考えます。
細かくするたびに、移動距離、面積の計算結果は精密になっていきます。

ｔの区間をΔｔと置けば、
１つの短冊の面積　＝　Δｔだけ経過する間の移動距離Δｘ
　　＝　（ｆ（ｔ）＋ｆ（ｔ＋Δｔ））／２・Δｔ
（Δｔが非常に小さければ、ｆ（ｔ）≒ｆ（ｔ＋Δｔ）とできるので）
　　＝　ｆ（ｔ）・Δｔ　＝　ｖ・Δｔ

Δｘ　＝　ｖ・Δｔ
これが瞬間的な移動距離です。

これを
ｄｘ　＝　ｖ・ｄｔ
∫１・ｄｘ　＝　∫ｖ・ｄｔ
ｘ　＝　∫ｖ・ｄｔ
と書き換えれば、いつの間にやら、短冊の面積を合計することと、ｖをｔで積分することが同じである、ということになってきました。

そして、
ｖ　＝　Δｘ／Δｔ
とも書けます。
これが、ある時刻における瞬間的な速さです。

ここで、
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ
と書くと、ｘをｔで微分したものがｖであることがわかります。
つまり、
「グラフの面積をｔで微分したものがｖなのだから、
　ｖ－ｔのグラフの面積が移動距離ｘになる」
ということになりました。

以上、ご参考に。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ある時間ごと、例えば一秒ごとに時間を区切って、平均の速度を求めるとおおよそ同じ移動距離になる。さらにそれを0.5秒ごと→0.3秒ごと→0.1秒ごととだんだん小さくしていくとそれはほぼ求める移動距離に等しくなるということでしょうか？

積分の考え方は幸いもう習ったので、この考えは理解できました。詳しい解説ありがとうございます。

回答No.6

htms42

＃５です。

お礼に書かれている文章では
面積であることは分かっていたが面積の求め方で引っかかってしまい、
面積であること自体が「？」になってしまった
ということのようですね。

＃５にも書いたように
「移動距離がｖ－ｔグラフの面積になっている」（Ａ）
ということと
「その面積をどうやって求めることが出来るか」（Ｂ）
とは別の問題です。

＞この考え方は積分を習ってからのほうがいいですね。積分を勉強した後でよかったです。

これは違うと思います。
積分なんて知らない普通の人でも
「平均の速さ×時間」で距離を推測するのはやっています。

どういう図形であれ面積は決まりますから距離も決まります。１つの式で求められないからといって「面積は存在しない」ということにはなりません。
速度変化が簡単な式で表せないものだったら積分も出来ません。
（Ａ）は成り立たないと考えますか。

人が歩く場合でも速さは一定ではありません。一歩ごとに変化しています。タイマーのテープを引っ張って速さの変化を調べる実験がよくやられています。グラフにして面積を求めれば距離が分かります。そこから平均の速さも分かります。図だけから判断して推測した平均の速さからでも近い値が出ます。

電車の速度変化を電車についている速度計の値を記録して調べたことがあります。京都、大阪間の急行です。１５秒ごとに記録しました。途中の駅やカーブを通過するときにかなり速度を落としていること、直線区間で速度を上げていることなどがよく分かります。出発時や到着時の加速度がどの程度かもよく分かります。グラフにして面積を求めると京都ー大阪間の距離が出ます。途中にある通過駅までの距離も分かります。時刻表に載っている値と近い値がでます。

お礼

再度ご回答ありがとうございます。

＞面積であることは分かっていたが面積の求め方で引っかかってしまい、面積であること自体が「？」になってしまった
ということのようですね。

その通りです。正確に言うと面積であることは数学的には理解していたが、物理的にはいまひとつだった、という感じです。

＞電車の速度変化を電車についている速度計の値を記録して調べたことがあります。

これはすごいですね。より実感がわいてくるので一度はしてみたいものです。

回答No.5

htms42

ｖ一定のときに距離がグラフの面積になっているということが分かっているのですからそれでいいのではないですか。
速さが一定でなければ平均の速さ×時間で考えればやはり面積になります。これでダメですか。
後は面積の求め方だけの問題になります。
簡単に面積が求められる場合もそうでない場合もあります。でもグラフの中に平均の速さを書き込めば距離が分かります。平均の速さをおおよそで推測すると距離もおおよそで分かります。目安が立つのですから途方にくれる必要はありません。

等加速度運動の場合はグラフが台形になっているのですから面積はすぐに求められるはずです。この場合は平均の速さは（ｖ＋ｖ’)／２です。「平均の速さ×時間＝距離」は台形の面積を求める式と同じになっています。

多分面積であるということが分からないのではなくて面積をどうやって求めるのかが分からないのだろうと思うのですが、どうでしょう。
積分を使った説明は面積の求め方を示しているだけです。面積であるというのが分からなければ積分を使った説明でも分からないはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞後は面積の求め方だけの問題になります。
つまりここからはほとんど数学的な考え方になると言うことでしょうか？仰るとおり面積の求め方で悩んでいました。この考え方は積分を習ってからのほうがいいですね。積分を勉強した後でよかったです。

回答No.3

okazaki0ko

距離・速度・加速度の関係は次の通りです。

距離＝速度の１階積分、もしくは、速度＝距離の１階微分
速度＝加速度の１階積分、もしくは、加速度＝速度の１階微分

これを式で表すと、距離をl(t)、速度をv(t)、加速度をa(t)として、

l(t) = ∫v(t)dt = ∫a(t)dt^2
dl(t)/dt = v(t) = ∫a(t)dt
d^2l(t)/dt^2 = dv(t)/dt = a(t)

となります。
すなわち、速度を積分すると距離が求まります。
距離＝速度×時間
とするのは、これが元になっています。
そして、v-tグラフの積分は、v-tグラフの下の部分の面積を求めることなので、v-tグラフの面積は距離になるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞距離＝速度の１階積分、もしくは、速度＝距離の１階微分
速度＝加速度の１階積分、もしくは、加速度＝速度の１階微分

ということは「距離を微分したら速度になる」⇔「速度を積分したら距離になる」という関係でしょうか？そして速度の積分はv-tグラフにおける面積に相当するので、v-tグラフの面積=移動距離という関係が成り立つのですね。

回答No.2

noname#121811

横軸つまり時間を非常に短い間隔で分けて短冊のようにします。短い時間なのでその間は等速であると近似出来ますね？本来は台形になるのを長方形に近似するので誤差はありますが。短い時間の間は長方形の面積が移動距離になります。で、短冊を全部計算して合計すれば全体の移動距離になります。それは（誤差はありますが）全体の面積に近いですね。

さて、誤差をもっと小さくするにはどうすればいいでしょうか？
もっともっと細かく短い時間で分けるのです。計算は面倒ですが誤差は確かに小さくなります。そして短冊の面積の合計（＝移動距離）それはだんだんと面積に近づいているのが分りますか？時間の間隔をもっと「無限に」細かくしたらどうでしょうか？完全に面積と一致します。

上記の説明は観念的ですが数学的にも証明されていることです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
数学でいうと、区分求積に相当する考えですね(これが積分の基本ですが)。短冊の底辺をどんどん小さくしていくと、短冊の数は増えるがより誤差は少なくなる。そしてどんどん底辺を0に近づけるとグラフの面積と等しくなる。まさに積分そのものですね。

回答No.1

noname#160321

早い話、積分して、
∫_T1^T2(v(t))dt
とするしかないのではないでしょうか。
加速度一定の場合は簡単ですよね。v(t)の傾き一定ですから。
積分の定義からして問題無いのでは？

お礼

ご回答ありがとうございます。
積分の考えを使うということですね。

＞積分の定義からして問題無いのでは？
私もそう思うのですが、いまいちピンと来ないのが本音です。