虚数は定数ですか？

質問

こんにちは。素朴な質問です。質問は以下の３つです。
(1)虚数（iやω：i^2=-1やω^3=1となるもの）は定数ですか？
(2)なぜω≠１ですか？
(3)特にωはω^2+ω+1=0となる、ω＝（－１±√３i）／２は暗記する必要があるのでしょうか？（←大學受験に向けて）

わかる方がいらっしゃれば、よろしくお願いします。

回答No.1

Ichitsubo · ベストアンサー

(1)定数というものはどういうものかご存じですか？
定まっている数のことです。たとえば、１や２，－４．５など。
または未知の数であっても、変わることがない数は定数です。
たとえば光速度cなど(もちろん測定によって求まっていますが)。
複素数であってもこれは全く同じで、不変の数は定数です。
iやら2+3iなどはいくら座って待っていても別の数には変わりません。
いま仮に、ω＝4-5iと決めればωも定数です。

(2)ω≠1と決まっていません。ωという数がどのような数であるか、その定義によって異なります。
ω＝1とすることも、ω＝2とすることもできますし、ω＞0であればω＝1となる可能性があります。しかし、ω＜０であったり「実数ではない複素数ω」などと表現されていれば、ω≠1であることは明かです。

(3)そんなもの方程式を解けばすぐ出てくるでしょ。
問題をたくさん解いてたくさん出くわしていれば自然と覚えてしまうこともありますけれど。
ω^2＋ω+1＝0
を解の公式通りに解いてください。
解の公式で言うところ、a=b=c=1ですから
ω＝(-1±√(1^2-4*1*1))/(2*1)
ほら・・・

お礼

回答ありがとうございます。
(1)虚数でも特定できるので定数ということですね
(2)ωを虚数立方根という前提で質問しました。虚数解なのでω≠１なのでしょうね。失礼しました。
(3)＞3)そんなもの方程式を解けばすぐ出てくるでしょ。
おっしゃる通りです。・・・

回答に感謝します。

回答No.3

koko_u_

ωは「定数」なので、通常 (-1 + √-3)/2 の方をωとすることが多いです。

お礼

回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.2

egarashi

(1)定数です。その値が固定されていて、変わらないでしょう？

(2)三次方程式x^3-1=0の解はx=1、(-1±√3i)/2です。そのうち、(-1±√3i)/2=ωとしているので、ω≠1です。

(3)暗記する必要はありません。三次方程式x^3-1=0はx=1を解に持ちますよね？つまり、x-1を因数に持つので、x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)と因数分解できます。ここで現れた二次方程式x^2+x+1=0の解がωなので、容易に導けます。
私は理系ですが、受験の際暗記しませんでした。無理に覚えると符号などを間違えるので…

お礼

回答ありがとうございます。

(1)定数ですね。ありごとうございます。
(2)ご指摘の通りですね。
(3)ありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答に感謝いたします。