重心の問題

質問

半径ｒの一様な円板から半径r/2の内接円を切り取った三日月形の板の重心の位置を求めよ。

という問題で、答えがr/12なのですが、どうしてもr/6になってしまいます。

どのように計算したらよいか教えてください。

回答No.2

fuuraibou0 · ベストアンサー

半径 ｒ の円板の中心を原点０として、原点の真下（－ｒ/２）に半径（ｒ/２）の
内接円を切切り取って、断面一次モーメントを考えると、

(πｒ^2－πｒ^2/４)・ｙ＝πｒ^2・０－(πｒ^2/４)・(－ｒ/２)　より、

(３πｒ^2/４)・ｙ＝πｒ^3/８、　　∴　半径（ｒ/２）の内接円で切り取られた円板の重心は、原点から真上に　ｙ＝ｒ/６　になり、貴方の答で合っています。直径を　ｄ　とすると、ｙ＝ｄ/１２　です。

回答No.4

htms42

参考までに
この問題はいろいろな方法で求めることが出来ます。
重心は錘をぶら下げてつりあう位置を求めるという考えで出てきます。
円の代わりに正方形でやってみます。
（円だと難しいと思われるかもしれませんが正方形だと簡単です。）

■■　　ＡＢ
■□　　ＣＤ
正方形ＡＢＣＤから1/4の大きさの正方形Ｄを切り取ったものＡＢＣの重心を求める問題と同じです。
（１）すぐに思いつくのは
　　　ＡＢの重心に２個分、Ｃの重心に１個分
　　　全体の重心は？・・・３等分して２個の方から１／３の所

（２）ＡＤの方向での対角線の上にあるということは明らかです
　　（この対称性を考えると円に対応します。）
　　　ＢＣの重心に２個分、Ａの重心に１個分
　　　全体の重心は？・・・３等分して２個の方から１／３の所

（３）Ｄの重心Ｇ１に１個分、残りの図形（ＡＢＣ）の重心Ｇ３に３個分
　　　（合わせて４個分の重心は大きい正方形の重心Ｇ４にある）
　　　Ｇ１Ｇ４：Ｇ３Ｇ４＝３：１です。

（２）（３）は円の場合にも使うことが出来ます。
　＃１、＃２でやられているのは（３）の方法です。

回答No.3

fuuraibou0

fuuraibou0　ですが、参考までに、厚紙で半径　ｒ　の円板から、半径（ｒ/２）の内接円を切り取って、ｙ＝ｒ/６　の所で支えると、つり合うので、貴方の答で間違いありません。

回答No.1

yoshi3746

もとの円板の重さをＷとします。半径r/2の円で切り取るのですから、切り取る円板の面積は、もとの円板の1/4です(面積＝πｒ^2だから)。そのため、きりとった部分の重さはＷ/4、切り取った後の三日月形の円板は3Ｗ/4です。
切り取った後の三日月形の円板は、その重心に上向きに3Ｗ/4の力をかければつりあうはずですよね。

円板を切り取ることを、もとの円板の中心からr/4のところ(切り取った円板の中心・重心)に上向きにＷ/4(切り取った板の重さ)の力をかけたと考えます。これで内接円を切り取った状態と同じ状態になりました。
このとき、三日月形の板の重心に、3Ｗ/4の力を上向きにかければつりあうはずです。

もとの円板の中心を支点に力のモーメントを考え、中心から重心までの長さをχとすれば、
(r/4)×(Ｗ/4)＝χ×(3Ｗ/4)
よってχ＝r/12です。

お礼

回答ありがとうございます。

ただ、切り取った円板の中心は、元の円板の中心からr/4ではなくr/2のところだと思うのですが？

そうするとχ＝r/6になるので、再びあわなくなります。

参考書の解答ミスかもしれないので、もしよければもう一度回答してくれるとありがたいです。