重心、外心、内心

質問

面積１の直角二等辺三角形に内接する円の半径を求めよ。

答えは√2-1になるんですが、どんしてそうなるのか分かる方教えてもらいたいです！

回答No.2

aries_1 · ベストアンサー

∠BAC=90゜,AB=ACの直角二等辺三角形ABCについて考える。

上の仮定かつ三角形ABCの面積は1より、
AB×AC×(1/2)=1(←底辺×高さ×1/2)
⇔AB^2=2
⇔AB=√2(=AC)
よって三平方の定理より、
BC^2=(√2)^2+(√2)^2=4
⇔BC=2

以上より、AB=AC=√2,BC=2

ここで三角形ABCの内接円の中心をO,半径をrとすると、内心の定義より下の二つが成り立つ。

・Oから辺AB,BC,ACに下ろした垂線の長さはそれぞれ内接円の半径(=r)に等しい

・Oから辺AB,BC,ACに下ろした垂線は、△OAB,△OBC,△OACの高さに相等する(=△OAB,△OBC,△OACの高さはr)

よって△OABの面積をS(△OAB)等とすると、
S(△OAB)=(1/2)×√2×r
(↑底辺AB=√2,高さr)

S(△OBC)=(1/2)×2×r
(↑底辺BC=2,高さr)

S(△OAC)=(1/2)×√2×r
(↑底辺AC=√2,高さr)

S(△ABC)=S(△OAB)+S(△OBC)+S(△OAC)=1
より、
{(1/2)×√2×r}+{(1/2)×2×r}+{(1/2)×√2×r}=1

これを解いて
r=1/(√2+1)=√2-1…(答)
(↑分母の有理化)

お礼

こんなに丁寧にありがとうございます！

難しいですね！(>_<)
でも本当に助かります！

回答No.1

ereserve67

a>0として，三角形の頂点を

A(a,0),O(0,0),B(0,a)

とすると，面積について

(1/2)a^2=1∴a=√2

内接円半径をrとすると，0<r<a=√2．中心は(r,r)であり，これと直線AB：x/a+y/a=1との距離はrであるから，

r=|r/a+r/a-1|/√(1/a^2+1/a^2)=|2r-a|/√2=|2r-√2|/√2=|√2r-1|

r^2=|√2r-1|^2=2r^2-2√2r+1

r^2-2√2r+1=0

(r-√2)^2=1

r-√2=-1（∵r<√2）

r=√2-1（答）

お礼

ありがとうございます！
これは難しいですよね？

でも本当に助かります！