円形リング自身にビオ・サバールの法則を適用した時の力の発散

質問

について教えて下さい。以前、質問にあったように思うのですが無回答だったと思います。
円形リング[c]の中心を原点にして半径をa,リング上の一点と原点とx軸の角をθ。
単位ベクトルをi~,j~,k~とするとリングの座標(a,0)にかかる力は
計算の主要部だけをとり∫[c]j~×(ds~×r~)/r^3となる。ここで
r~=a(1-cosθ)i~-asinθj~
ds~=adθ(-sinθi~+cosθj~)
これを計算し、さらに定数部を除くと
∫[0,2π]dθi~/√(1-cosθ)=(2/√2)∫[0,π]dθi~/sin(θ/2)
となって発散してしまうのですが、これはどのように理解すれば
よいのでしょうか。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

無限に細い導線を考えているのが原因じゃなかったかな。

お礼

さっそく、ありがとうございます。もう計算力も落ちましたがご指摘の方向で考えてみます。

回答No.2

eatern27

あ、いや、別にそんな大それた計算は必要ありません。

力以前に、導線上の磁場が発散していますよね。この発散がなくなれば、力も発散しない事になります。

例えば、直線電流からr離れた地点の磁場は、1/rに比例するので、導線の位置(r=0)での磁場は、無限大に発散している事になります。じゃぁ、本当にそうなっているのかと言うと、そんな事ありません。なぜなら、1/rに比例するというのは、導線の外部の話であって、導線内部には適用できません。もしも、電流が導線内部を一様に流れていれば導線の内部の磁場は中心軸からの距離rに比例するので導線内部の磁場は有限です。(他の電流分布でも、電流密度が有限である限り、導線内部の磁場は有限です)

円電流でも同じ理由から、導線内部の磁場は有限で、導線が受ける力も有限となるはずです。

お礼

ありがとうございます。なるほど、ビオ・サバールよりアンペールの法則で考えることにしました。