ビオ サバールの法則

質問

ビオ　サバールの法則で
下のウィキのサイトで見たのですが、
真ん中に定義式H＝∫j(r)・・・と書いてあるのですが
下の問題を解いている式を見ると
H＝（１/4π）∫I・sinθ・ds/r^2
といきなりsinθが出てきたのですか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93%E3%82%AA%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

ウィキペディアの一番最初の式

dH = [I dl×r] / [4πr^3]

で分子にある dl×r (ここのlとrはベクトル)の×の記号は外積といわれるものです。
一般に、2つのベクトルA,Bがあったとき、それぞれの成分を(Ax, Ay, Az), (Bx, By, Bz)であらわすと外積は

A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx)

で定義され、大きさがベクトルA,Bで張られる平行四辺形の面積、
方向がこの平行四辺形に垂直であるベクトルです。
(方向は三つのベクトルA,B,A×Bが右手系をなすように決まります。)

この平行四辺形の面積は、ベクトルA,Bの大きさを|A|, |B|であらわし、
ベクトルA,Bの間の角をθとすると、

|A×B|=|A||B|sinθ

になります。

したがって、ウィキペディアの例では

| I dl×r | = I ds |r| sinθ

となり、分母もあわせればベクトルdHの大きさは

dH = [I ds |r| sinθ] / [4π|r|^3]　= [I ds sinθ] / [4π|r|^2]

これを積分したのがご質問の式です。(ベクトルdHの方向は紙面に垂直)

お礼

細かな説明ありがとうございます

回答No.1

cacao86

真ん中の定義式は一般式でしょう。ですので、基本的にはこの式です。ただ、下でといている問題は図を見ますとr=a/sinθ,s=-a/tanθとなっています。この式を定義式に当てはめて計算していくと最終的にsinが出てくるというわけです。

真ん中の式は一般式なのでいつもHがこの値になるわけではないです。定義式に出てくるもので、常に不変なのはπくらいではないでしょか？他の値は問題によって変わります。もちろんHもです。

お礼

ありがとうございます