円の断面二次モーメントの算出方法について

質問

円の断面二次モーメントの算出方法について
私なりに計算した方法を以下に示します。

x^2+y^2=r^2の円に原点よりｙ離れた場所に単位面積ΔA（（2×√r^2－ｙ^2）×dy）に応力σが作用している時
のモーメントM(x)=2×ｙ×（√r^2－ｙ^2）×σとなり、y=r×sinθ、σ=ｙ・Ｅ／Rとすると(E：ヤング率、R：半径曲線)、
M(x)=2×E/R×ｒ^4×sin^2θ×cos^2θとなります。

円全体のモーメントＭ=∫(-1/2π～1/2π)（2×E/R×ｒ^4×sin^2θ×cos^2θ）dθ
（sin^2θ×cos^2θ＝1/4sin2θ）
これは不定積分の公式より（sin^2θ=(x/2)-(1/4)sin 2x） 与式=π×E/R×ｒ^4=π/32d×ｒ^4×E/R (r=1/2ｄ)
となってしまいました。

公式ではπ/64d×ｒ^4となります。

大変恐縮ですが、計算、考え方等間違いがありましたが、ご教授下さい。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

なんか、いたるところに誤植や計算ミスがあって、非常に見難い。
きちんと、数式を確認してから投稿してください。

とりあえず質問に関しては、計算してみた感じ、
単に、定積分の計算が間違っているだけみたいです。
ちゃんと、π×E/R×r^4/4 = π×E/R×d^4/64 になりますよ。

ΔA = 2×√(r^2－ｙ^2)×dy
M(y)dy = σ(y) × y × ΔA
　= 2×E/R × y^2 ×√(r^2－ｙ^2)×dy
　= 2×E/R×r^4×(sinθ)^2×(cosθ)^2 dθ
　= E/(2R)×r^4×(sin(2θ))^2 dθ

∫_[-π/2→π/2] M(y) dy = ∫_[-π/2→π/2] E/(2R)×r^4×(sin(2θ))^2 dθ
= π×E/R×r^4/4 = π×E/R×d^4/64

お礼

ご回答ありがとうございます。

計算間違いということで、再度確認してみましたら、間違いを発見しました。

大変助かりました。

(∫_[-π/2→π/2] E/(2R)×r^4×(sin(2θ))^2 dθ　の(sin(2θ))^2=(1-cos2x)／2でした。)

ありがとうございました。