∫〔0，π〕sin^n（ｘ）（n≧０の整数）をいくつかのｎで計算せよ。

質問

∫〔0，π〕sin^n（ｘ）（n≧０の整数）をいくつかのｎで計算せよ。
一般のｎでの積分値を推測し，証明せよ。
できるだけ詳しく教えてください。

回答No.4

santorl · ベストアンサー

一般に次の等式が成り立つ。証明は後回し。
∫[0,a] f(x) dx = ∫[0,a/2] { f(x) + f(a－x) } dx
この等式を使って、問題の積分の式を変形する。
∫[0,π] sin^n x dx = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n (π－x) } dx
　　　　　　　　　 = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n x } dx
= 2∫[0,π/2] sin^n x dx
この式を使えば、ｎ≧２ のｎについては、値が求まる。
∫[0,π/2] sin^n x dx の値は数IIIの教科書に載っていたので、それを使う。
ｎが偶数のとき、
(n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×3/4×1/2×π/2
ｎが奇数のとき、
(n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×4/5×2/3×1

例えば、
ｎ=2 のとき　2∫[0,π/2] sin^2 x dx = 2×( 1/2×π/2 ) = π/2
ｎ=3 のとき　2∫[0,π/2] sin^3 x dx = 2×( 2/3×１)= 4/3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｎ＝０のときは、直接 ∫[0,π] sin^0 x dx = ∫[0,π] 1 dx = π
ｎ＝１のときは、直接 ∫[0,π] sin^1 x dx = ∫[0,π] sin x dx = 2

一般のｎでの積分値 2∫[0,π/2] sin^n x dxは、
ｎが偶数のとき、
2×{ (n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×3/4×1/2×π/2 }
ｎが奇数のとき、
2×{ (n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×4/5×2/3×1 }
となる。

お礼

順を追った丁寧な解説ありがとうございます。
これからの勉強に大変役立ち，復習もしやすいです。ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

sin^(n+1) x を sin x と sin^n x の積に分解して
部分積分を行えば、∫[0,π] (sin^(n+1) x) dx を
∫[0,π] (sin^n x) dx の入った式で表すことができる。
それが漸化式。

部分積分を行う際、sin x と sin^n x のうち
どちらを積分してどちらを微分すればよいか、考えてみよう。

回答No.2

kabaokaba

n=1のときπsin(x)なんてどこにない．
もしかして,∫sin(x)dx を知らない？

もしそうならこの問題をする準備が足りないので
教科書をやり直しです．
説明を聞いても分からないでしょう．

回答No.1

kabaokaba

部分積分で漸化式を作るだけ．
nが偶数か奇数かで微妙に違う．
きわめて簡単だから自分でやってみるのがいい．

補足

n=1のとき，πsinxからどうやっていいかわからないんです。
n≧２の時も，どうやるか教えてもらえませんか？