∫1/1+x^n dx

質問

∫1/1+x^n dx　（nは自然数）　（区間0→1）
n=1,2,3,4までは計算できるのですが5以上がわかりません。
わかる方に是非教えていただきたいです。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

∫ 1/(1+x^n) dx ですかね？
型どおり、「部分分数分解して積分」するだけです。

被積分関数の分母は、
(1+x^n) = Π[k=0…(n-1)] { 1 - x/(e^(iπ(2k-1)/n)) }
と因数分解できます。
Σ[k=0…(n-1)] が 0…(n-1) に関する和であるのに対して、
Π[k=0…(n-1)] は 0…(n-1) に関する積を表す記号です。あると便利。
e^(iπ(2k-1)/n は、-1 の n 乗根です。

分母の因数分解を利用して、被積分関数は、
1/(1+x^n) = Σ[k=0…(n-1)] (c_k)/{ 1 - x/(e^(iπ(2k-1)/n)) }
と分解されます。係数 c_k は、
c_k = lim[x→e^(iπ(2k-1)/n] { 1 - x/(e^(iπ(2k-1)/n)) }/(1+x^n)
= -(e^(iπ(2k-1)/n) / lim[x→e^(iπ(2k-1)/n] (1+x^n)/{ x - (e^(iπ(2k-1)/n)) }
= -(e^(iπ(2k-1)/n) / [ nx^(n-1) ; x = (e^(iπ(2k-1)/n)) ]
= [ -1/(nx^n) ; x = (e^(iπ(2k-1)/n)) ]
= -1/n
と計算できます。

以上より、
∫ 1/(1+x^n) dx = ∫ Σ[k=0…(n-1)] (-1/n)/{ 1 - x/(e^(iπ(2k-1)/n)) } dx
= (1/n) Σ[k=0…(n-1)] (e^(iπ(2k-1)/n) ∫ 1/{ x - (e^(iπ(2k-1)/n)) } dx
= (1/n) Σ[k=0…(n-1)] (e^(iπ(2k-1)/n) log{ x - (e^(iπ(2k-1)/n)) } + (積分定数)

積分区間が [0,1] なら、
∫[0,1] 1/(1+x^n) dx
= (1/n) Σ[k=0…(n-1)] (e^(iπ(2k-1)/n)[ log{ 1 - (e^(iπ(2k-1)/n)) } - log{ 0 - (e^(iπ(2k-1)/n)) } ]
= (1/n) Σ[k=0…(n-1)] (e^(iπ(2k-1)/n) log{ 1 - (e^(-iπ(2k-1)/n)) }
= (1/n) log Π[k=0…(n-1)] { 1 - (e^(-iπ(2k-1)/n)) }^(e^(iπ(2k-1)/n)

これ以上整理できそうな気は、あまりしません。

お礼

ありがとうございます！
わかりやすかったです！

回答No.2

Ae610

∫[0→1]{x^(p-1)/(1+x^n)}dx (p＞0 , n＞0)
= Σ[k=0～∞](-1)^k/(p+nk)
・・・であるので、p=1とすると
∫[0→1]{1/(1+x^n)}dx
= 1－1/(1+n)＋1/(1+2n)－1/(1+3n)＋・・・
・・・と表す事が出来ると思う。

例えばn=2とすると
∫[0→1]{1/(1+x^2)}dx = arctan(1)
= π/4
= 1－1/3＋1/5－1/7＋・・・

お礼

ありがとうございます！
言われてみればそういう表し方がありましたね！