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全ての整数nに対して、不定積分∫(x^n)*(logx) dxを求める

全ての整数nに対して、不定積分∫(x^n)*(logx) dxを求めるにはどうすればいいでしょうか。 部分積分でなんとか出来るのかな?と考えましたが、 (x^n)の部分が何度も出てきて困っています。

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  • kabaokaba
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回答No.2

部分積分です. In=∫(x^n)*(log(x)) dx とおけば とおいたときに In =x^{n+1}log(x) - x^{n+1} - n In + (1/(n+1))x^{n+1} という形になりますが,右辺と左辺のInは実は同じものではないので この形は厳密には間違いなんですが,その違いは定数分しかないので 結局 In = (1/(n+1)) x^{n+1}log(x) - (1/(n+1)^2)x^{n+1} + C です.

aghaergeas
質問者

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません、ありがとうございました。

その他の回答 (1)

回答No.1

部分積分でOKですが、最初に(x^n)を積分することになりますね。 n≠-1のとき、 I=1/(n+1)・x^(n+1)logx-∫1/(n+1)・x^(n+1)・1/x・dx ={x^(n+1)logx-∫x^n・dx}/(n+1)  → あとよろしくおねがいします。 n=-1のとき、 I=(logx)^2-∫logx・1/x・dx=(logx)^2-I → あとよろしくおねがいします。

aghaergeas
質問者

お礼

場合分けの事をすっかり忘れていました。ありがとうございました。