三角関数

質問

(cos2x+sin2x+1)/cos2xsin2x 0<x<π/4の最小値についてですが、図形的に2x=π/4の時だろうというのはわかるのですが、微分しないで求まらないでしょうか？自分はtanxのみの式にしてもうまくいきませんでした。よろしくお願いします。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

2x＝θとすると、0<x<π/4より　0＜θ＜π/2.
Ｐ＝（分子）/（分母）とする。
分子＝cos2x+sin2x+1＝cosθ＋sinθ＋1、分母＝cos2xsin2x＝cosθsinθ＝（1/2）*sin2θ
そこで、cosθ＋sinθ＝tとすると（1＜t≦√2）分子＝t＋1、（t）＾2＝1＋2cosθsinθより、sin2θ＝（t）＾2-1.
従って、分母＝（1/2）*sin2θ＝（1/2）*（t＋1）*（t-1）であるから、結局、Ｐ＝（分子）/（分母）＝2（t＋1）/（t＋1）*（t-1）＝2/（t-1）となるから、分母が最大の時Ｐは最小。

続きは、すぐわかるでしょう。

回答No.3

take_5

＞自分はtanxのみの式にしてもうまくいきませんでした。

この方針でも出来るだろう。

tanx＝tとすれば（0＜t＜1）、sin2x＝（2t）/（t＾2＋1）、cos2x＝（1-t＾2）/（t＾2＋1）となる。これは教科書にも載ってるだろう。
Ｐ＝（分子）/（分母）＝（t＾2＋1）/（t-t＾2）＝-1＋（1＋t）/（t＾2＋1）となるから、（1＋t）/（t＾2＋1）の最大値を求めると良い。
ここで、微分を使えば良いだけ。

回答No.1

koko_u_

>自分はtanxのみの式にしてもうまくいきませんでした。
どんな風にうまくいかないのかを補足にどうぞ。