三角関数

質問

0≦α≦πとする。x≧0を満たすすべてのxに対して、不等式
2xsinαcosα-2(√3x+1)cos＾2α-√2cosα+√3x+2≧0
が成り立つための条件は
sinアα≧√イcosαウαかつ
エcos＾2α+√オcosα-カ≦0が成り立つことである。
これより、αの値の範囲は
キ/クπ≦α≦ケ/コπである。

角がバラバラなので2倍角の公式等で揃えようとしましたが、私には無理でした。どなたか教えて下さい。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

x≧0でxの一次関数：f(x)＝Ａx＋Ｂ≧0が成立するための条件は、Ａ≧0、and、Ｂ≧0。
何故なら、x≧0でf(x)の最小値＝f(0)≧0であれば良い。
Ａ≦0であれば、x≧0で最大値はあるが、最小値はない。

2xsinαcosα-2(√3x+1)cos＾2α-√2cosα+√3x+2＝(sin2α-√3cos2α)x-(√2cosα-1)(cosα＋√2)≧0.

従って、sin2α-√3cos2α≧0、and、(√2cosα-1)(cosα＋√2)≦0.
cosα＋√2≧0であるから、sin2α-√3cos2α≧0、√2cosα-1≦0を解くだけです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
先日の三角関数の問題でもお世話になりました。
助かりました。

回答No.2

chicken_man

2xsinαcosα-2(√3x+1)cos＾2α-√2cosα+√3x+2≧0
2xsinαcosα-2cos＾2α-√2cosα+√3x(-2cos＾2α+1)+2≧0

倍角の公式より
2sinαcosα＝sin2α
2cos＾2α-1＝cos2α

xsin2α-2cos＾2α-√2cosα-√3xcos2α+2≧0
x(sin2α-√3cos2α)-(2cos＾2α+√2cosα-2)≧0

x≧0より、この不等式が常に成り立つ条件は
sin2α-√3cos2α≧0　⇒　sin2α≧√3cos2α
2cos＾2α+√2cosα-2≦0

よって上記の条件から
tan2α≧√3　tan2α＝√3のとき　2α＝π/3+nπ
よって　α＝(π/6)+(nπ/2)　0≦α≦π　より
α＝π/6 , 2π/3

tanθはπ周期で単調増加で
また2αは π/2+nπ の値を取れないので
π/3≦2α＜π/2
2π/3≦2α＜3π/2

よって
π/6≦α＜π/4
π/3≦α＜3π/4

2cos＾2α+√2cosα-2≦0　より
cos＾2α+(1/√2)cosα-1≦0
(cosα-1/√2)(cosα＋√2)≦0
cosα＋√2≧0　より
cosα-1/√2≦0　cosα≦1/√2　つまり　α≧π/4

上記の条件より　π/3≦α＜3π/4　が答えとなる。

若干問題の穴埋めとは違いますが
たぶんこんな感じです。

お礼

夜分遅くに回答していただきありがとうございます。

丸写しではあまり意味が無いので自分で理解しながらノートに書きたいと思います。