高木初等整数論 ｐ８５

質問

初等整数論で
(n/m）は平方剰余のルジャンドルの記号、もしくは,Jacobiの記号とします。水平の-が書けないため。

（記号の説明）
φ(m):オイラー関数：ｍと素である整数の数
Legendreの記号
x^2≡a　　(mod.p）が解をゆうするときにａをｐの平方剰余、そうでないとき平方非剰余という。
not（a≡0）　(mod.p）でないとき、ａが平方剰余であるか、非剰余であるかに従って
（ａ/p）＝+１または-１

(m/n）の定義　ｎ＞１が奇数で,n=ｐｐ'p''---が、ｎの素因数分解でｓるとき,(m,n)=1なる整数ｍに関して
（m/n）＝（m/ｐ）（m/ｐ'）（m/ｐ''）---とする。
右辺は、Legendreの記号

ｊａｃｏｂｉの記号

（定理）
ｍが平方数でないならば、ｍを法とするφ(m)個の既約類のうち、半数に属するｎに対しては(n/m）＝+１、他の半数に対しては、(n/m）＝-１

(証明）と続きますが。
mを法とする同一既約類に属するｎに対しては(n/m）の値は一定.
いまφ(m)個の既約類の代表を(n/m）の値によって+の組と-の組とに分けて、
（+）　 a1、―――，aｎ　　　　（a／ｍ）＝+１
（-）　ｂ1、―――，bｎ　　　　（b／ｍ）＝-１
とする。
ａ≡１(mod　ｍ）であるａなどは+の組に属するが、仮定でｍは平方数でないから、-の組も空虚でない。
(質問）ｍは平方数なら、-の組は空虚は明らかですが、ｍは平方数でないから、-の組も空虚でないはどうしていえるのでしょうか。わかりやすく説明ください。

回答No.2

BASKETMM

お分かりになったよし。おめでとうございます。
質問を閉じないようにお願いいたしましたが、
私からの回答は当分出ないでしょうから、
閉じて下さって結構です。
更に先に進まれることを願っております。

でも、何故、この時代に高木先生の本を読んでおられるのですか。

お礼

高木さんの本は具体例がたくさんでており、参考になる。
抽象イデアル論でどのような応用をすべきか。その必要がよく理解できました。
古典的なものも参考になりますということですね。
後は頭の体操がわりです。

回答No.1

BASKETMM

taktta さん
なかなか回答が来ませんね。私も今すぐ回答できませんが、興味を持って見守っております。
高木と来たのでとても懐かしく思っています。すぐに本箱を探しました。近世数学史談、数学雑談そして解析概論は見付けましたが、あるはずの代数的整数論と初等整数論が見つからず、焦っています。

今すぐ回答できない理由は、少し復習を必要としたからです。暇を見て大学図書館へも行ってみます。しばらくこの質問を閉じずにおいて下さい。
オールドタイマーより

お礼

私はわかりましたが、回答をこのランに書くには、余地がありません。

補足

私も自分なりに考えてみますが、よろしくお願いします。