Df(t)=λf(t),それからf'(t)/f(t)=λ。何故我々はf(t)で割る事ができるのか

質問

お世話になっております。

[Problem]We know that the set of eigenvecors x for A is defined as those vectors which,when multiplied by A,result in a scaling λ of x.Thus,Ax=λx.Given differentiation operator D,then Df(t)=λf(t),then f'(t)/f(t)=λ.Why can we devide by f(t).
「我々はAで掛けられた時,Aに対する固有ベクトルxの集合がこれらのベクトルとして定義されていてその結果xの尺度構成となる事を知っている。従ってAx=λx.微分演算子Dが与えられた時,Df(t)=λf(t),それからf'(t)/f(t)=λ。何故我々はf(t)で割る事ができるのか」

という問題なのですがさっぱり何をすればいいのかわかりません。
どなたかお助けください。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

f'(t)/f(t)=λ の「 = 」は、各 t についての等式で、
それが或る範囲内の任意の t について成立するという
意味の「 ∀t 」が、この式では省略されています。
別段、関数を関数で割っている訳ではありません。

任意のベクトル空間の場合にも、基底の添え字を k とすれば、
y=λx のとき、各 k-成分に関して y_k / x_k = λ と
書くことができますが、それを、ベクトルをベクトルで割った
とは呼ばないというだけのことです。やっている事は同じです。

関数 f, g, h について、∀t, g(t)/f(t)=h(t) を
関数としての除算 g/f=h の定義にしてしまうことは、
よく行われています。

その意味で f'(t)/f(t)=λ と書いているのだとすれば、
割ることができる理由は、そのように除算を定義したから
と言うしかありません。

お礼

皆様,大変有難うございます。
主旨が分かりづらい問題なのですね。
f(t)=c*exp(λt)とは目からうろこです。
今後の大切な資料とさせていただきます。m(＿ ＿)m

回答No.4

noname#50894

>Why can we devide by f(t).
確かに、これだけでは、何を求めているかが不明な、禅問答のような文章です。

お礼

皆様,大変有難うございます。
主旨が分かりづらい問題なのですね。
f(t)=c*exp(λt)とは目からうろこです。
今後の大切な資料とさせていただきます。m(＿ ＿)m

回答No.3

jmh

> Why can we devide by f(t).
>
≠０だから…？

ｆの説明を補足してください。

お礼

皆様,大変有難うございます。
主旨が分かりづらい問題なのですね。
f(t)=c*exp(λt)とは目からうろこです。
今後の大切な資料とさせていただきます。m(＿ ＿)m

回答No.1

noname#50894

この場合は、以下の解釈しかないようですが…
>Given differentiation operator D,then Df(t)=λf(t),
から、df(t)/dt=λf(t)

>Why can we devide by f(t).
従って、f(t)=c*exp(λt)，f’(t)=λc*exp(λt)からλ=f’(t)/f(t)が成立する。

しかしながら、ベクトル空間上の元に商は定義されていないはずなので、
この表現はおかしいですね。