線形代数 Theorem 8

質問

例題に
The vectors
[2], [ 4], [-2]
[1] [-1] [ 2]
are linearly dependent by Theorem 8, because there are three vectors in the set and there are only two entries in each vector. Notice, however, that none of the vectors is a multiple of one of the other vectors.

とあり、この図(二次元で、0からそれぞれの点に線が引かれている)を見ると
この例題に関しては納得なのですが、
Theorem 8に関してはどうも納得いきません。

Theorem 8
If a set contains more vectors than there are entries in each vector, then the set is linearly dependent. That is, any set{v1, ..., vp} in R^n is linearly dependent if p>n.

p
[* * * * *]
n[* * * * *]
[* * * * *]

この説明を読む限り、p(=columnの数)がn(=rowの数)よりも大きい場合はいつでもlinearly dependent(一次で従属している,って言うんですか???)になる、というように解釈しています。それが正しいならば、上の例題の(4,-1)の4が5になったとしても、まだp>n (3>2)なのでlinearly dependentのはずです。しかし、実際にはなりません(よね?)。このTheorem 8は何が言いたいのでしょう? このTheorem 8の矛盾、というか私の勘違いを正して下さい。

回答No.1

sokamone · ベストアンサー

定理８を和訳すると、次のようになります。
「いくつかのベクトルからなる集合があり、その各々のベクトルの成分の数よりも、その集合のベクトルの数が多い場合、それらのベクトルは一次従属である。すなわち、ｐ個のｎ次元ベクトルは、ｐ＞ｎならば必ず一次従属になる。」

例題は、３つのベクトル、
（２，１），（４，－1)，（－２，２）
は、１次従属であると言っています。これは、（４，－１）を（５、－１）に変えても１次従属のままです。
例えば、
-8(2,1)+6(5,-1)+7(-2,2)=(0,0)
が成り立ちます。

定理のｐはベクトルの数、ｎはベクトルの成分の数、と理解して下さい。

お礼

ほげっ! 5に変えてもまだ成り立つんですね!

>定理のｐはベクトルの数、ｎはベクトルの成分の数、と理解して下さい。

わ、ここにも誤解がありましたね。も一回、ほげっ!(笑)
スッキリしました。
これから試験です。
p>nならば必ず一次従属、それを忘れずに臨みます。
ありがとうございました!

回答No.2

seven_triton

簡単に言うと、線形空間の次元よりも多い数のベクトルを持ってくると、それらが一次従属になりますよ、ってことです。（次元はまだやってないですか？）Ｒ＾ｎの次元はｎなので、ｎ+1個以上のベクトルを持ってくれば一次従属になります。例題では、Ｒ＾２のなかに３つベクトルがあるので、それらは一次従属になります。

＞上の例題の(4,-1)の4が5になったとしても、まだp>n (3>2)なのでlinearly dependentのはずです。しかし、実際にはなりません(よね?)。

なりますよ！

お礼

はい、次元はもうやっています。
ちゃんと理解しているか、と訊かれると怪しいですが。

>なりますよ！

なりますね!

混乱はしてますけど、線形代数は微分積分よりは面白いですね(今のところ)。
もっと勉強します。
ありがとうございました!