tのある区間と、全てのtでのf(t)≧0

質問

全てのtでのf(t)≧0のとき、tのある区間ではf(t)≧0となっているかがわからないので質問します。
問題は、
tの関数f(t)を f(t)=1+2at+b(2t^2-1)とおく、区間-1≦t≦1のすべてのtに対して f(t)≧0であるようなa,bを座標とする点(a,b)の存在する範囲を図示せよ。 です。
f(t)=2bt^2+2at+1-bとしたあと、
自分の解答では、b<0とb=0のときは本と解き方は同じでした。しかしb>0のときの解き方がちがいました。自分は、b>0のときf(t)は下に凸の放物線で、その判別式が0以下ならf(t)は全てのｔにおいて、x軸に接するか上にあるので、区間-1≦t≦1のすべてのtに対して f(t)≧0となるとしましたが、本の解答では、f(t)の軸-a/(2b)が、-1以下か、-1より大きく1より小さいか、1以上かの３つの場合分けをしていました。
どなたか、なぜ判別式が0以下の考えがまちがっているかおしえてください。よろしくお願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

＞全てのtでのf(t)≧0のとき
これと
＞区間-1≦t≦1のすべてのtに対して f(t)≧0
これって意味が違ってるってわかりますか？
問題文では後者について問うているので、
t < -1や1 < tの範囲においてはf(t) ≧ 0かf(t) < 0かは
知ったこっちゃない、ってことです。

お礼

区間-1≦t≦1のすべてのtに対して f(t)≧0のとき、
t < -1や1 < tの範囲においてはf(t) ≧ 0かf(t) < 0かは
知ったこっちゃない、
覚えておこうと思います。回答ありがとうございます。

回答No.4

gamma1854

b>0 において。
頂点のｙ座標が負であっても、|x|≦1 で f(x)≧0 である場合はあります。
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D＜0 であれば、グラフはｔ軸の上にあるということですから、すべての実数ｔに対し f(t)>0 です。
今の場合は、すべての実数tについてではなく、|t|≦1 なる狭い範囲だけで条件が成り立てばよいのです.

お礼

頂点のy座標が負でも、|x|≦1 で f(x)≧0 である場合に、自分は気づきませんでした。ご指摘ありがとうございます。

回答No.3

asuncion

だから判別式だけを考えたのでは
不足してるってことです。

補足

よければ回答をおねがいします。
f(t)の軸-a/(2b)が、-1より大きく1より小さいか、のとき2b>a>-2bの条件がつき本の回答では、b>(1/2)aかつb>-(1/2)aも図示しています。自分の考えではこの２つの不等式が表す領域が図示されないので、採点では減点でしょうか？

回答No.1

asuncion

＞全てのtでのf(t)≧0のとき、tのある区間ではf(t)≧0となっているかがわからない

ここだけを見ると、「すべてのtで」f(t) ≧ 0が
成り立っているのですから、「tのある区間で」f(t) ≧ 0が
成り立っているのは当たり前のように思えるのですが、
いかがでしょう。