対数関数 不等式 お願いします。

質問

次の不等式を満たすｘの値を求めよ　という問題です。

(1)　３＜ｌｏｇ底が１０　真数がｘ＜４
(2)　３＜ｌｏｇ底が１／２真数がｘ＜４

質問したばかりであるのに
申し訳ございませんが、
教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

Mell-Lily · ベストアンサー

＊訂正＊

【問題】
次の不等式を満たすxの値を求めよ。
(1) 3<log[10]x<4
(2) 3<log[1/2]x<4

【解答】
(1)
　3<log[10]x<4
　⇔ 3log[10]10<log[10]x<4log[10]10
　⇔ log[10]10^3<log[10]x<log[10]10^4
　⇔ log[10]1000<log[10]x<log[10]10000
log[10]xは、xの増加に伴って単調に増加するから、
　1000<x<10000 … (Ans.)

(2)
　3<log[1/2]x<4
　⇔ 3log[1/2]1/2<log[1/2]x<4log[1/2]1/2
　⇔ log[1/2](1/2)^3<log[1/2]x<log[1/2](1/2)^4
　⇔ log[1/2]1/8<log[1/2]x<log[1/2]1/16
log[1/2]xは、xの増加に伴って単調に減少するから、
　1/16<x<1/8 … (Ans.)

お礼

締め切りにおわれていたので大変なとこでした。
Mell-Lilyさん３度目までもありがとうございます。

回答No.2

hinebot

(1)3<log[10]x<4

log[10]x = t とおくと、log の定義より、x=10^t
t>0 のとき　関数 y=10^t は単調増加
よって、3<t<4 (与式）ならば　10^3<10^t<10^4
すなわち、1000 < x < 10000　

または、底と真数が等しい対数は１（log[a]a = 1）であるのを利用して
3<log[10]x<4
⇔3・1<log[10]x<4・1
⇔3log[10]10<log[10]x<4log[10]10
⇔log[10]10^3<log[10]x<log[10]10^4
log[10]x は単調増加なので、不等号の向きはそのままでlog を取る（真数だけにする）ことができるので
⇔10^3 < x < 10^4　　すなわち、1000 < x < 10000

(2)も同様。
ただし、y=(1/2)^t あるいは　log[1/2]x は単調減少なので、不等号の向きが
変わることに注意してください。

お礼

いつも皆さんの親切に
甘えさせてもらっていて
申し訳ないです。
hinebotさんありがとうございます。

回答No.1

Mell-Lily

3<log[10]x<4
　∴ 3log[10]10<x<4log[10]10
　∴ log[10]10^3<x<log[10]10^4
log[10]xは、xの増加に伴って単調に増加するから、
　10^3<x<10^4
　∴ 1000<x<10000 … (Ans.)

　3<log[1/2]x<4
　∴ 3log[1/2]1/2<log[1/2]x<4log[1/2]1/2
　∴ log[1/2](1/2)^3<log[1/2]x<log[1/2](1/2)^4
log[1/2]xは、xの増加に伴って単調に減少するから、
　(1/2)^4<x<(1/2)^3
　∴ 1/16<x<1/8 … (Ans.)