食塩水の問題の解き方について

質問

この前、学校の数学の授業で食塩水を混ぜる問題が出たのですが、問題を見ていて気がついたことがあります。
例えば5％の食塩水と12％の食塩水を混ぜて7％の食塩水が700gできたとすると、5と7の差は2。12と7の差は5なので、
5％の食塩水：12％の食塩水で表すと、5：2で混ぜたことになるようなのです。
自分でいくつか問題を作って解いてみたのですが、すべてこの方法で解けました。しかし、どうしてこうなるのかが分かりませんし、すべての場合でこれが使えるのかも疑問です。学校の先生にも聞いたのですが、分からないと言われました。分かる方、教えてください。(中2なので、できれば簡単な説明でお願いします。)

回答No.2

yoshi3746 · ベストアンサー

先生わからなかったのですか？少し心配ですね…。

この解法は「てんびん法」と言われています。食塩水の濃度に関する、小学生向け(上位)の解法です。

ａ％食塩水Ａとｂ％食塩水Ｂをまぜて、ｃ％食塩水Ｃになったとします(ａ＜ｂ)
食塩水Ａの重さ＝χグラム
食塩水Ｂの重さ＝ｙグラムにします。

食塩水Ａに含まれる食塩の量＝0.01ａχ
食塩水Ｂに含まれる食塩の量＝0.01ｂｙ
よって、この二つを混ぜるから、Ｃの濃度ｃ％は以下のように表せます。

(0.01ａχ＋ 0.01ｂy)÷(χ＋ｙ)＝0.01ｃ

これを変形して、
ａχ＋ｂｙ＝ｃ(χ＋ｙ)

(ｃ－ａ)χ＝(ｂ－ｃ)ｙ

よってχ：ｙ＝(ｂ－ｃ)：(ｃ－ａ)
(内項の積＝外項の積)

つまり、ＡとＣの濃度差と、ＢとＣの濃度差の比は、まぜる食塩水(Ａ，Ｂ)の重さの逆比になっています。

なぜてんびん法というのかは、「てんびん法」で調べてみてください。わかりやすい説明があると思います。

お礼

てんびん法と言うのですね。とても分かりやすい説明をして頂きありがとうございます。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

なかなか鋭いところだと思いますが、できれば、もう少し説明がわかりやすければと思います。
「食塩水を混ぜる問題」だけでは考えるのに苦労します。
結論から言えば、お考えの通りで正解です。

問題は、「a% の 食塩水と b% の食塩水を混ぜたら、c% の食塩水が n g できた。それぞれの何グラムずつあったか」ということでしょうか？

普通に連立方程式をたてると

x + y = n
ax + by = cn （％表示ですが、両辺を１００倍すると同じこと）

加減法で解くために、最初の式を a 倍すると
ax + ay = an
これから、次の式を引くと
(a - b) y = (a - c)n …… １）

同じように最初の式を b 倍して
bx + by = bn
これから２番目の式を引くと
(b - a) x = (b - c)n …… ２）

１）、２）の式を辺々割ると

(a - b) / (b - a) × y / x = (a - c)/(b - c)
(a - b) / (b - a) = -1 なので
y / x = -(a - c)/(b - c)
つまり、
y / x = (c - a)/(b - c)
です。
(b - c)y = (c - a)x とも書けますから、
x : y = (b - c) : (c - a)
です。

お礼

連立方程式を使っても解くことができるということに驚きです。丁寧な回答をありがとうございました。