食塩水の不思議な解き方・・・

質問

誰か教えて下さい。
数学（算数）の講師をしています。生徒に食塩水の濃度の求め方を教えていました。

「１００ｇの水に塩を３ｇ入れたら、濃度は何％になるでしょう？」
という問題です。生徒が解き方を知っているかどうか知りたかったので、ちょっと意地悪な問題を出したつもりです。
私の（一般的？）な解き方では、【濃度（％）＝食塩の重さ（３）÷全体の重さ（１００＋３）×１００】が正しい解き方で、即答で３％は×。約３％（２．９％とか）なら○にしようと思っていました。

ところが、解き方（計算式）を観察していていたら不思議な解き方だったのです。

以下生徒の式
１００÷１０３×１００－１００＝－２．９１２６２１３６
マイナスはおかしいから取る。
答え＝２．９１２６２１３６％

まぐれかと思って水１００ｇ＋食塩の数字を５ｇにして生徒に再計算させてみたところ
１００÷１０５×１００－１００＝－４．７６１９０４７６２
答え＝４．７６１９０４７６２％

生徒は出てきた数字を順に足したり引いたり思考錯誤して、それとなく出てきた数字を答えているようなのですが・・・いままでこの計算方法で食塩水の問題を乗り切ってきたといいます。
実際、算数と数学の試験の結果はほぼ毎回満点です。（食塩水の問題はそんなに多く出題されていないみたいです。計算ミスで失点する程度で学校内でもけっこう優秀な生徒さん。他の分野の理解度も高い）

考え方そのものが間違いならば指導したいところなのですが、答えは合っているのです。
答えとしてはあっているのですが、これは正しい解き方なのでしょうか？
数学的に証明とかを使えば、計算式として成り立つのでしょうか？？
わかりそうな方、解説お願いします。

回答No.2

FT56F001 · ベストアンサー

水の質量をw[g]，食塩の質量をn[g]とすると，食塩水の濃度p[%]を求める式

[先生のやり方]
p=w/(w+a)*100%

[生徒のやり方]
p=-{w/(w+n))*100%-100%}
=100%*{1-w/(w+n)=100%*(w+n-w)/(w+n)=100%*n/(w+n)

よって，式の立て方として間違いではない。
ただし，食塩水の濃度の定義として，立てた式を生徒が説明できますか?

食塩水の濃度は，(食塩の質量)÷(溶液の質量)*100%と定義されています。
ここで「水塩食」の濃度を，(水の質量)÷(溶液の質量)*100%と定義しましょう。
(「水塩食」の濃度)+(食塩水の濃度)=100%ですから，生徒のやり方に合理性がないわけではないです。

ただし，なんらかの思考を経てその方法に考え至ったのか，
単に問題に出てくる数字を掛けたり割ったりするうちに正しい答えに行き着く方法を見出したのか，
よくよく聞いてあげて下さい。
前者ならひょっとして天才かもしれません。
後者なら「運を天に任せて生きるギャンプラータイプ」なのかな???

お礼

合理性はあるのですね・・・

多分、自分なりの法則を経験的に発見したのだと思います。経験を活かしたギャンブラータイプに見えます。

しかし、何かの法則を発見する才能があるので、型にはめて凡人にしないようにしたいです。
天才に覚醒するといいなぁ～＾＾

回答No.4

noname#175206

生徒さんの解き方で、マイナスにならないよう、順序を入れ替えて見ましょう。

　１００－（１００÷１０３×１００）＝２．９１２６２１３６
　答え＝２．９１２６２１３６％

　パーセントでなく、0～1にしてみます。小数に直さないでおきます。

　１－１/１．０３＝(１．０３－１)/１．０３＝０．０３/１．０３
　１００倍すれば、上の式となり、食塩のパーセンテージ濃度になります。

　質問者様の方法を、0～1で表すと、以下のようですね。こちらも小数に直す前までにします。

　濃度（0～1）＝食塩の重さ（３）÷全体の重さ（１００＋３）
＝３/１０３＝０．０３/１．０３

　二つはどこにも違いはありません。
　生徒さんは、一手間多いですね。そこをどう評価するか、慣れた方法から一手間省くのがいいか、それは理科的な観点で考えるべきでしょう。

お礼

やはり、数学的に考えていけば手間が多いだけで、式としては成り立つのですね。

式の意味は理解してはいないようなので、自己流で壁にぶち当たった時の対処法として一般的な解き方を教えようと思います。
一見無駄に見える計算の中にも真実があったりするのだなぁと思いました。
御回答ありがとうございます。

回答No.3

FT56F001

すいません，
[先生のやり方]
p=n/(w+n)*100%
でした。

お礼

御回答ありがとうございます。

回答No.1

noname#148625

まぁ正しい答えは出るよねこの式。

100/103×100ってようするに塩の濃度でなくて「食塩水のうちの水の割合」を求めています。
これから-１００したら、マイナスになった分はつまり「食塩水のうちの水でない成分の割合」、つまり食塩の割合（濃度）になるってことです。

しかし、たまたま答えが出るからといって、意味がわかって使っていないのでせいぜい三角。
わかっているなら-100してマイナス取っ払うなんてせずに、100-水の割合って式を立てるはず。

お礼

なるほど！
塩の割合ではなく水の割合を求めていたのですね。
おそらく意味を知っていて使っているとは思えないです。この1問に１０分以上かかっていましたし・・・

学校ではないので、一般的な解き方も教えて、随時使いわけるように助言します。
御回答ありがとうございました。