角の二等分線の長さ

質問

高校一年の問題です。
三角形ABCにおいて角Aの二等分線がBCと交わる点をDとしたとき、

AD=2√bcs(s-a) /(b＋c)（√はbcs(s-a)すべてにかかります。分母がb＋cです。）

ただしs=(a＋b＋c)/2

を証明する問題です。
うちの高校一年の娘に聞かれましたが、どうしてもわかりません。
皆さんの知恵をお貸し下さい。

回答No.1

milkysugar · ベストアンサー

高校1年なので，余弦定理は使っていいのですよね？
三角形ABCに関して，cos∠B = (a^2 + c^2 - b^2)/2ac です．
またBD:CD = AB:AC = c:b（角の2等分線の性質）より，BD = ac/(b+c)となります．
三角形ABDに関して，余弦定理よりAD = √(AB^2 + BD^2 - 2AB×BD×cos∠B)となりますから，これを計算すれば確かに解答のとおりになります．
あとは計算の腕力が勝負です．

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

kony0

（別解）
△ABCの外接円をかき、ADの延長線が円周と交わる点をEとする。
AD=x, DE=yとする。
△ABD∽△AECより、b:(x+y)=x:c
△ABD∽△CEDより、x:ac/(b+c)=ab/(b+c):y（いわゆる「方べきの定理」です）
これをx,yについて解けばOK。

一応中３レベル、もしくは最近だと数Ａの平面幾何の範囲です。

お礼

ありがとうございました。