頂角の二等分線と対辺の垂直二等分線について

質問

「二等辺三角形でない適当な△ABCについて,頂角Aの二等分線と,頂角Aの対辺BCの垂直二等分線は決して△ABC内では交わらない」

ということはどうやれば証明できますか？

いくつかのパターンで作図してみれば

直感的には分かるのですがなぜそうなるのかという厳密な証明がわかりません.

よろしくお願いします.

回答No.2

gomgom1543 · ベストアンサー

△ＡＢＣにおいて、
頂角Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとするとき
　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
が成り立つ。

辺ＢＣの垂直二等分線は辺ＢＣの中点を通る。

証明
△ＡＢＣがを二等辺三角形ではない適当な三角形だとすると、
辺ＡＢと辺ＡＣは同じではない。
頂角Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとすると、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
より点Ｄは辺ＢＣの中点ではないことがわかる。
このとき辺ＢＣの中点はＢＤ：ＤＣのどちらか比が大きい方に存在することになる。
辺ＢＣの垂直二等分線は辺ＢＣの中点を通り垂直に延びる線なので、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣより
辺ＢＣの中点からＡＢ：ＡＣの比が大きい辺へと抜けていく線になるので、
二等辺三角形でない適当な△ABCについて,頂角Aの二等分線と、
頂角Aの対辺BCの垂直二等分線は決して△ABC内では交わらない
といえる。

こんな感じですかね。

回答No.1

info22

下のURLにある
三角形の角の二等分定理の図
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html
から
AB:AC=BD:DC　
なのでURLの図から
AB>ACならBD>DCことが言える。
このことは、D点がBCの中点Mより右に来ることを言っているから、
角Aの二等分線と辺BCの垂直二等分線との交点は
辺BCの下側にくることが言える。

参考URL
角の二等分定理
http://yosshy.sansu.org/theorem/kaku2tobun.htm