複素関数（留数定理）

質問

複素積分に関しての質問です。

C:｜z｜＝1　反時計回り向き
とするとき
∫c (tan z)/z^4 dz
を求める問題です。

極z=0の位数は、sin z /z　が正則になることより3だと思う
のですが、計算すると答えが発散してしまいます。

4で計算すると答えが合います（2πi/3）。

どういうことなのでしょうか？？
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

ちゃんと留数を求める、あるいはローラン展開して1/zの項の係数を求めて、
留数定理を適用して下さい。

ローラン展開は
tan z をz=0でテイラー展開してから全体を z^4　で割ってやればいいでしょう。
そうすれば
留数が 1/3 になりませんか？

留数定理により、
積分は　2πi(1/3)
となります。

2位以上の極（特異点）を持つ複素関数における留数定理やm位の極を持つ場合の留数の求め方を今一度、復習し直してみて下さい。
複素積分は、積分経路内の、ローラン展開における1位の極、つまり留数のみの和をとって、2πi倍したものになります。

参考URL：

http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap11.pdf

お礼

留数を公式によって求めるのは非常に難しいので、
直接ローラン展開を求めるのですね。
勉強になりました。ありがとうございます。

回答No.1

saus

ローラン展開してみよ。

お礼

回答ありがとうございます。
公式を使うのではないのですね。