平面図形の問題について

質問

問題文を全文掲載します。
　ＡＢは半径1の円の弦である。点ＣはＡＢと平行な直径の上にあり
　∠ＡＣＢ＝90°、∠ＣＡＢ＝60°となっている。ＡＢの長さを求めよ。
何となく条件が今ひとつ足りないような気がするのですが、解けるでしょうか？

回答No.6

tiezo- · ベストアンサー

ABの中点をDとすると
三角形ACDは正三角形になります
そこで座標計算をすると
AD＝2/√7　AB＝4/√7となりました
直角三角形の辺の比と三平方の定理からも
解けそうですね

お礼

ひじょーにうまいっす！！！！！
とてもエレガントな解法です！！！！
有難うございました。

回答No.15

Aquoibonist

＃15で回答したものです。
肝心のABの長さを書いていませんでした。
ABは2×kで与えられますから、AB＝4/√7です。

回答No.14

Aquoibonist

ACの長さをk(＞０)とおきます。ΔABCはAC:AB:BC=1:2:√3の直角三角形ですから(これは問題に与えられた角度からわかる)、AB=2k、BC=√3kとなります。
また、ΔOABとΔABCについてOC//ABであり(つまり、このことから高さが等しいとわかる)、AB(底辺)は共通ですから、ΔOABとΔABCの面積は等しい(底辺と高さが等しい三角形の面積は等しい)。
あとは、ΔOABとΔABCの面積をkであらわして、ΔOAB＝ΔABCとして解けばよい。
まず、ΔABCの面積は(AC×BC)÷2＝(√3×k^2)÷2．
一方、ΔOABはOA=OBの二等辺三角形であり、Oから底辺のABに下ろした垂線はABを
等分します。この垂線の足(つまり、ABの中点)をMとします。すると、ΔOAMは∠M
＝90°の直角三角形となり、OA=1(OAは問題の設定から円の半径)、AM=AB÷2=ｋですから、三平方の定理よりOM=√(1-k^2)
したがって、ΔOAB=(AB×OM)÷2=k×√(1-k^2)
ルートの中は0以上でないといけないので、1-k^2≧0
これよりkの範囲は(0＜)k≦1
　ΔABC＝(√3×k^2)÷2
　ΔOAB＝k×√(1-k^2)
ΔOAB＝ΔABCとして、式を整理すると、
√3×k^2＝2k×√(1-k^2)
両辺２乗して(両辺とも正なので２乗できる)
3×k^4＝4×k^2－4×k^4
k^2×(7×k^2－4)＝0
k＞0とおいていたので7×k^2－4＝0
これを解いて、ｋ＝2/√7
途中、kの範囲が(0＜)k≦1であるとしましたが、これが本当に正しいかも一応確かめておくと、√７＞2．6(数値は表などで確かめてください)なので、確かにk≦1を
満たしています。

お礼

有難うございました。面積でとくとは気づきませんでした。
おかげすっきりしました！！！
協力してくださったみなさんどうも有難うございましたm(_　_)m

回答No.13

mmky

再度#No10です。#No10でちよっといい加減にコメントしましたので
反省を込めて回答例の補足のみです。
回答は#13他で出ていますのでそちらを参考にしてください。

円に惑わされていませんか。
これは直角三角形の問題ですよね。
長辺をABとする直角三角形の頂点をCとし、頂点Cが∠ＡＣＢ＝90°の条件
で動いたときのCの軌跡が円の直径になると読み替えればいいのでは。
ということで、次のように考えます。

直角三角形ＡＢＣは、辺比が　1：√3：2　の三角形ですから
ＡＢの二等分点を中点（ｘとしましよう）とする円を描きます。
ＡＢは長辺になりますので、ＡＢの長さを仮に2としておきます。
そうするとこの円の半径は1になりますね。
円の中点（ｘ）からＣまでの長さは、同じく円の半径ですね。
また、このときできる三角形ＡＸＣは角度60度の正三角形ですね。
ＡＢの中点から垂線を引いてＡＢと平行でＣ点を通る
線を描きます。このときの交点をｙとします。
そうするとｘｙの長さは、1×cos30度＝√3/2 になります。
（垂線と線分Ｃｘの角度は90-60＝30度になるゆえ）
求めたいのはＡとｙ間の長さですね。Ａｙの長さは、
√（（Ax)＾2+(Ay)＾2）＝√（（1）＾2+（√3/2）＾2）
＝√(7/4) ＞1
この値は1より大きいですね。　
（命題では、ＡＢは、ｙを中心とする1の円の弦であると解釈できるので）
そこで、Ａｙの値を1にするために各辺に逆数√(4/7)を掛けます。
√(4/7)：√3×√(4/7)：2×√(4/7)
そうするとＡＢの長さは、2×√(4/7)で、これが命題の円の直径
２より小さければ解があるということになります。
2×√(4/7)＝2×0.755＝1.51＜2
ということで、確かに解けますね。
補足と修正まで

お礼

なるほどう。よくわかりました！！
有難うございます。

回答No.12

oshiete_goo

結論としては4／√7=(4√7)/7 で, #6,#7,#11さんの答えになります.

#6さんの方針とほぼ同じですが, 一応導きます.

弦AB=xとすると, ∠ACB=90°かつ ∠CAB=60°より AC=ABcos60°=x/2
すると円の中心O, 弦ABの中点Mとすると, OMは点CからABに引いた垂線の長さACsin∠CAB=ACsin60°=(x/2)*(√3/2)=(√3)x/4 に等しい.
円の中心をO, 弦ABの中点Mとすると, △OAMはOA=半径1, ∠OMA=90°,OM=(√3)x/4, AM=AB/2=x/2
よって, 三平方の定理より
{(√3)x/4}^2 +(x/2)^2=1^2
3x^2/16 + x^2/4 =1
7x^2/16=1
x^2=16/7
x=4／√7=(4√7)/7 (>0)

お礼

中点に気づかなかったです！！
有難うございました

回答No.11

kony0

ＣからＡＢにおろした垂線の足をＨとする。また円の中心をＯ、ＡＢの中点をＭとする。
三角定規を考えて、ＡＨ：ＣＨ：ＢＨ＝１：√３：３
また四角形ＣＨＭＯは長方形よりＭＯ＝ＣＨ
直角三角形ＯＭＡで三平方の定理を考えて・・・
あとはできませんか？

回答No.10

kony0

私もAB=4/√7です。

回答No.9

mmky

円に惑わされていませんか。
これは直角三角形の問題ですよね。
長辺をABとする直角三角形の頂点をCとし、頂点Cが∠ＡＣＢ＝90°の条件で動いたときのCの軌跡が円の直径になると読み替えればいいのでは。
頂点CがABの二等分線上になるときが円の中心になりますね。
このとき三角形ABCは、直角二等辺三角形ですから、円の半径を１とすると
ABの長さは√2　になる。

これ以外に解があるかな？

お礼

これ以外に解がありました・・・。
ありがとうございます。

回答No.8

mickel131

直接の解答ではありません。

<何となく条件が今ひとつ足りないような気がするのですが、>

だとしたら、
「ＡＢは半径1の円の弦である。点ＣはＡＢと平行な直径の上にあり
　∠ＡＣＢ＝90°、∠ＣＡＢ＝60°」
の条件を満たす三角形ABCが、いくつでも書けるはずです。確定しないはずです。

でも、この条件どおりに作図したら、そういう位置関係にあるA,B,Cは２通りだけに決まってきませんか。

ということは、条件が足りなくはないはずです。
あまり考えていませんので、自信なし、としておきます。

回答No.7

noname#13390

何度もすいません。
１．５です。

回答No.5

GratefulDead

恥の上塗りですが。。。
Ｂbは√3/4x
円の中心からbまではx/2
よって
1=(√3/4x)^2+(x/2)^2
x=1.512