MORSEポテンシャル 波動関数

質問

MORSEの論文を読み、ポテンシャル
V[x_] := d Exp[-2 a (x - x0)] - 2 d Exp[-a (x - x0)]上の波動関数は、
R[ｘ_, n_] := Exp(-x/2)*x^((k - 2 n - 1)/2)
*LaguerreL[k - n - 1, k - 2 n - 1, x]
と与えられることがわかったのですが、
これの直交性を確かめるためにMathematicaで
　　　　　int[R[x,n]R[x,m],{x,0,∞}]
を行ったのですが、これがなぜか0になりません。
なんでですかね？
ラゲール多項式の直交性は
　　　　int[Exp[-x]*x^k*LaguerreL[n,k,x]
*LaguerreL[m,k,x],{x,0,∞}]
が０になることは確認できているので、Mathematicaの計算過程に問題はないと思うのですが…
なので、元の波動関数に問題があるのかも知れなく思えてきました。
原因がわかる方教えてください。

回答No.1

101325 · ベストアンサー

■R[x,n]の定義式にある間違いその１
×：Exp(-x/2)
○：Exp[-x/2]
ケアレスミスですね。

■R[x,n]の定義式にある間違いその２
×：LaguerreL[k - n - 1, k - 2 n - 1, x]
○：LaguerreL[n, k - 2 n - 1, x]
モースの論文にある generalized Laguerre polynomials の引数の書き方は、MathematicaのLaguerreLのそれとは違います。MathematicaのLaguerreLの定義は
http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials#Generalized_Laguerre_polynomials
にあるものと同じはずですので、確認して下さい。

■直交性を確かめるための積分にある間違い
×：R[x,n]R[x,m]
○：R[x,n]R[x,m]/x
ポテンシャルをV[r_] := d Exp[-2 a (r - r0)] - 2 d Exp[-a (r - r0)]と定義すれば、rと波動関数R[x,n]の独立変数xと間の関係は
x ∝ Exp[-a (r - r0)]
のようになります。これを微分するとdx/dr=-a*xになりますから、
∫R(x(r),n)R(x(r),m)dr ＝∫R(x,n)R(x,m)/(-a*x) dx ∝∫R(x,n)R(x,m)/x dx
より、直交性を確かめるために積分される関数は、R[x,n]R[x,m] ではなくて R[x,n]R[x,m]/x になります。
rの定義域が(-r0,+∞)ではなくて(-∞,+∞)になっている理由については
http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Morse_potential#Adding_a_note_on_boundary_conditions.3F
をご覧下さい。-∞<r<+∞なので、0<x<+∞になります。

お礼

ありがとうざいます。
助かりました。