証明お願いします

質問

｜π／２　　　　　　　　　　｜π／２
｜　　ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ 　＝　　｜ ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｘ
｜０ 　　　　　　　　　　　　｜０

｜π　　　　　　　　　　　　｜π／２
｜　　ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝　　２｜　　　ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ
｜０　　　　　　　　　　　　｜０
それぞれの等式を証明せよという問題なのです。
なんとなく頭の中では分かるのですが、
上手く文章化できません。
誰かお願いしますm(_ _)m

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

[前半]
左辺で　x=π/2－t　と置換．定積分なので，後で積分変数をxに変える(再定義)．

[後半]
左辺を　x＝π/2　で分けて，π/2～π（第２項とする）の部分を x=π－t で置換．sin(π-t)=sint　など．　後で積分変数をxに変えると第１項と同じ．

お礼

ありがとうございました。

補足

後半の左辺でｘ＝π－ｔで置換してやってみたら
第二項に－の符号がついて左辺＝０になってしまったのですが、何か間違ってるんでしょうか？

回答No.3

mmky

証明の問題ですので、文章での証明のほうがよいではないでしょうか。
蛇足ですが。

問題1の証明
sinx は｜sinx｜≦1でｘ=π/２のとき最大値1をとる（π/２）で対称な関数なので、関数ｆ（sinｘ）もπ/２で対称な関数になる。
（理由：ｆ（sinｘ）＝a1sinx+a2(sinx)＾2+・・・・・　になる故）
だから積分範囲（0-π/２）と（π/２-π）の積分値は等しい。
故に
｜π/２　　　　　　　　　　 ｜π
｜　ｆ（sinｘ）ｄｘ 　＝ ｜ ｆ（sinｘ）ｄｘ
｜0 　　　　　　　　　　　｜π/２
ここでｘを（ｘ+π/２）と置きかえると, d(x+π/２)=dx 故

｜π/2　　　　　　　　　　　 ｜π/2
｜　ｆ（sin(ｘ+π/２）)ｄｘ 　＝ ｜ ｆ（cosx）ｄｘ
｜0　　　　　　　　　　　 ｜0

で証明終わり。

問２．同様に
sinx は｜sinx｜≦1でπ／２で対称な関数故、関数ｆ（sinｘ）も
π/２で対称な関数になる。だから(0－π/2)と（π/2－π）の積分値は同じ
値となるので、
｜π　　　　　　　　　　　 ｜π／２
｜　ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ= ２｜　　　ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ
｜０　　　　　　　　　　　｜０

になる。証明終わり

お礼

くわしい解答ありがとうございました。

回答No.2

milkysugar

置換した後，積分の下端はπ/2，上端は0のはずです．

ですから　－∫_π/2 ^ 0 は ∫_0^π/2となって問題ありません．
（上端と下端を入れ替えると符号は逆になります）

お礼

ただ単にｄｘ／ｄｔを求めるのを忘れていただけでした。
どうもありがとうございました。