教えてください！

質問

整式 f(x)が、xについての次の恒等式を満たす
fx(X二乗-1)-5f(x)=(x三乗+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29

(1) f(0).f(1).f(-1)の値と解き方を教えてください。
(2) f(x)の次数の求めかたと値を教えて下さい。
(3) f(x)の求めかたと値を教えて下さい。

宜しくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

問題の式が不明確(誤っていそう)なので,
f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29・・・（１）
でよいのかどうか, 補足してもらえませんか?

もしこの通りだと, どうもきれいに出ないのでおかしいのでは?

いずれにしても, 方針は
(1)はx=0,1,-1を順に代入した式を作って, f(0),f(1),f(-1)の連立方程式を解いて決定.

(2)は最高次の項をax^n (a≠0)として,
(今のままの式の場合だと)n≧1ならば, 左辺は2n次, 右辺は(n+3)次なので, 与式が恒等式であることより, 両辺の(最高)次数は同じなので, 2n=n+3 より n=3
また, n=0 (f(x)=定数)のとき, 左辺は定数で, 右辺はf(x)が0なら1次, 0でない定数でも3次で,両辺の次数が一致せず, 矛盾. よってn≠0　[などと考察．]
以上より, f(x)は3次式

(補足その1)なお, (1)でf(0),f(1),f(-1)が具体的に求まっていれば, 実際には, 多分f(x)が定数でないことはすぐいえるでしょう.
(補足その2)この段階ではf(x)が存在するとすれば3次式であるという,『必要条件』に過ぎませんが, この手の問題では, 次に具体的に求めて十分性を確かめるので, (2)ではここで止めておいてよいです.

(3)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a,b,c,d は定数, a≠0) とおく．
いきなり（１）に代入してもよいが，大変なので，f(0),f(1),f(-1)の条件で先に形を絞っておいてから元の式に代入して係数を決定．

補足

f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29と同じことです！分かり難くてすいません・・・。

回答No.5

oshiete_goo

質問者さんの再度の補足にもかかわらず，問題文が最初から間違っていたようで，試
行錯誤の結果わかりました．
正しい（と思われる）問題は
xｆ(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29・・・（＊）
です．（もともとの問題のタイプミスでしょう．）
他に，fx(X二乗-1)，f(x^2-1)，fx(x^2-1)，f（x(x^2-1)）はすべて意味不明もしく
はf(0),f(1),f(-1)などの時点で既に答えが煩雑な分数になり，どう見ても不自然
で，おそらく妥当な（うまく解ける）問題は（＊）だけとみられます．

（訂正後の式）
xｆ(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29・・・（＊）

［略解］
（1）　ｘ＝0,1,-1を順に代入して整理した結果は
x=0より　　5f（0）+2f(1)+f(-1)=29・・・（1）
x=１より　　f（0）+5f(1)=33 ・・・（2）
x=-1より　　f（0）+f(-1)=5 ・・・（3）
これらを連立して解いて，
f(0)=3, f(1)=6, f(-1)=2

(2)　(1)の結果より，ｆ（ｘ）は定数ではなく，1次以上の整式である．すると，最
高次の項をax^n (a（≠0）は定数，ｎは正の整数)と置ける．
与式の両辺の次数について，左辺は(第１項が最高次で) 2n+1，右辺は(第１項が最高
次で) n+3.
よって，恒等式の両辺の次数は一致するので，　2n+1=n+3 ⇔　n=2
(原題と違うので，同じ方針でやってもここで次数が違って来ています．)
よって，ｆ（ｘ）は２次式．
（これは本当は必要条件ですが，これで終わって良い理由は先に述べました．）

(3)　(2)の結果より，2次式f(x)=ax^2+bx+c (a,b,cは定数，a≠0) と置ける．
(1)より
f（0）=c=3
f(1)=a+b+c=6
f(-1)=a-b+c=2
これらを連立して解くと，a=1, b=2, c=3
よって　ｆ（ｘ）＝x^2+2x+3　（必要条件）
逆にこれを用いて与式の左辺と右辺を別々に計算すると，ともに　x^5-5x^2-8x-15
(計算略)
となり，確かに恒等的に与式は成立．よって十分条件でもある．
以上より
　ｆ（ｘ）＝x^2+2x+3

回答No.4

Mell-Lily

【問題】

整式f(x)が、xについての次の恒等式を満たすとき、下記の(1)～(3)の設問に答えよ。
　f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29 … (*)
(1) f(0),f(1),f(-1)の値を求めよ。
(2) f(x)の次数を求めよ。
(3) f(x)を求めよ。

【解答】

(1)
(*)において、x=0とすれば、
　f(-1)-5f(0)=f(-1)+2f(1)-29
　∴ 2f(1)+5f(0)=29. … (a)
また、x=1とすれば、
　f(0)-5f(1)=2f(0)-33
　∴ f(0)+5f(1)=33. … (b)
さらに、x=-1とすれば、
　f(0)-5f(-1)=2f(0)-25
　∴ f(0)+5f(-1)=25. … (c)
(a)×5-(b)×2より、
　(5×5-2)f(0)=29×5-33×2
　∴ 23f(0)=79
　∴ f(0)=79/23. … (d)
(d)を(b)に代入して、
　79/23+5f(1)=33
　∴ f(1)=(33-79/23)/5=136/23.… (e)
(d)を(c)に代入して、
　79/33+5f(-1)=25
　∴ f(-1)=(25-79/23)/5=496/115. … (f)
(d),(e),(f)から、
　f(0)=79/23, f(1)=136/23, f(-1)=496/115. … (Ans.)

(2)
f(x)の次数をnとすれば、(*)の左辺の次数は2n、右辺の次数はn+3である。(*)は、恒等式だから、
　2n=n+3
　∴ n=3. … (Ans.)

(3)
(2)より、f(x)は3次式だから、
　f(x)=ax^3+bx^2+cx+d … (g) (ただし、a≠0)
とおくことができる。(1)より、
　f(0)=d=79/23, … (h)
　f(1)=a+b+c+d=136/23, … (i)
　f(-1)=-a+b-c+d=496/115. … (j)
(i)+(j)より、
　2b+2d=136/23+496/115
　∴ b+d=(136/23+496/115)/2=588/115. … (k)
(k)に(h)を代入して、
　b+79/23=588/115
　∴ b=588/115-79/23=193/115. … (l)
(h),(l)を(i)に代入して、
　a+193/115+c+79/23=136/23
　∴ c=92/115-a. … (m)
(h),(l),(m)を(g)に代入して、
　f(x)=ax^3+193/115x^2+(92/115-a)x+79/23. … (n)
(*)に(n)を代入して、
　a(x^2-1)^3+193/115(x^2-1)^2+(92/115-a)(x^2-1)+79/23-5{ax^3+193/115x^2+(92/115-a)x+79/23}=(x^3+1){a(x-1)^3+193/115(x-1)^2+(92/115-a)(x-1)+79/23}-2(x-1){a(x+1)^3+193/115(x+1)^2+(92/115-a)(x+1)+79/23}-4x-29 … (**)

(**)を計算して係数を比較すれば、aが求まるはずです。

補足

大変申し訳ございません・・・f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29の式ですが、一番先頭にｘを記入するのを忘れていました！わざわざ計算していただいたのですが本当にすいません・・・なので訂正後の式はfx(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29でした・・・本当に申し訳ございません・・・。

回答No.3

oshiete_goo

＞f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29と同じことです！
補足ありがとうございます.
ただ，困ったことに, 式がこの通りとすると,

x=0 とおいて整理すると, 5f(0)+2f(1)=29・・・(1)
x=1 とおいて整理すると, f(0)+5f(1)=33・・・(2)
x=-1 とおいて整理すると, 3f(0)+5f(-1)=25・・・(3)

(1),(2)より, f(0)=79/23, f(1)=136/23 となり, この辺でもう雲行きがおかしい気がします. (こんな半端な値の問題はまず見たことがないので.)
このままいくと, f(-1)=338/115 ??
ここまでで計算ミス等おかしいところがあったらご指摘ください.

というわけで, 問題のミスプリ等が疑われるし, もし結果が一部でもわかっていれば, お教えくださると, 推測のしようもあるのですが...
出典はどういう類(問題集, 手書きプリント, その他)の問題なのでしょうか.
大まかな方針は先に述べたとおりで普通は大丈夫なはずですが, どうもこのまま解こうとしてもあまり意味はなさそうです.

補足

oshiete_gooさん、すいません・・・。f(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29の式ですが改めまして式のほうを確かめると、式の先頭にxを記入するのを忘れていました・・・。なので訂正後の式はfx(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29でした・・・。補足で「同じことです！」と書いてしまってすいませんでした・・・。

回答No.2

oshiete_goo

#1の者です.
一部不正確なところがあったので, 補足と訂正です.
＞(2)は最高次の項をax^n (a≠0)として,
こうおいたので，n=0 としても　常にf(x)=0　の場合は表せないので，

(2)の一番最初に，『常にf(x)＝0とすると　0=-4x-29 となり，恒等式にならないので不適．よって f(x)は恒等的には０でない．』

という部分をつけ加えて，
＞また, n=0 (f(x)=定数)のとき, 左辺は定数で, 右辺はf(x)が0なら1次, 0でない定数でも3次で,両辺の次数が一致せず, 矛盾. よってn≠0　[などと考察．]

この部分は，
『また, n=0 (f(x)=定数≠０)のとき, 左辺は定数で, 右辺は3次で，両辺の次数が一致せず, 矛盾. よってn≠0　[などと考察．] 』
と訂正いたします．

お礼

とても丁寧にご説明して頂本当にありがとうございます！締め切りのときにお礼を申し上げます。