回答は分かりますが、解き方が分かりません。

質問

早速ですが、力を貸して下さい。

問．整式x3乗＋ax2乗＋bx＋7を(x-2)2乗で割った余りが5x＋3となるように、a、bの値を求めよ。

この問題の解答が、a＝-3、b＝5なのは分かっているのですが、解き方が分かりません。

どなたか、易しい模範解答例などありましたら教えて下さい。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

私なら
x^3+ax^2+bx+7を(x-2)^2で割った商をP(x)として
x^3+ax^2+bx+7=(x-2)^2*P(x)+5x+3
が成立することが分かり、それをxで微分して
3x^2+2ax+b=2(x-2)*P(x)+(x-2)^2*P'(x)+5
これら2つの式にx=2を代入します

回答No.4

pirimo1982

今晩は。勉学お疲れ様です。

この問題はさまざまな解き方がありそうですね。
基本的にはNo.2やNo.3の方の回答方法でよいと思います。最もオーソドックスで模範的な回答でしょう。

なので私は別解として・・・

(x-2)^2を展開してもx^3の項が出てこないことから、割ったときの商が(x+c)の形で表れるということは大丈夫だと思います。なので、

x^3 + ax^2 + bx + 7 = (x + c)(x - 2)^2 + 5x + 3

の等式を作るところまではNo.3の方と同じです。

ここで、この等式はxがどんな数でも成り立つものなので、x = 0を代入してみてください。
こうなります↓

0^3 + a*(0^2) + b*0 + 7 = (0 + c)(0 - 2)^2 + 5*0 + 3
7 = 4c + 3
c = 1

よって、cの値が分かっちゃったので、

x^3 + ax^2 + bx + 7 = (x + 1)(x - 2)^2 + 5x + 3

となります。

後はご自由に。素直に展開するのもよいと思います。他には、

x = -1を代入 ⇒ a - b = -8
x = 2を代入 ⇒ 4a + 2b = -2

として連立で解いてもよいと思います。
ちなみに、なぜx = -1とx = 2を選んだかというと、右辺の因数分解の部分が0になって楽チンだからです。他の数を代入しても解けますよ！

頑張ってください☆

回答No.3

nattocurry

x^3 + ax^2 + bx + 7 を (x - 2)^2 で割った余りが 5x + 3 になるということは、商を x + c とすると、

x^3 + ax^2 + bx + 7 = (x + c)(x - 2)^2 + 5x + 3

という式が成り立ちます。

右辺を展開して、x^3 + ？x^2 + ？x + ？　の形にします。

次数の同じ項の係数同士は等しいので、3つの式が立てられます。

その3つの連立方程式を解くと、aとb(とc)が求められます。

回答No.2

Lokapala

まず、以下のような式を立てます。ここで、(sx+t)は(x-2)^2で割った時の商です。
x^3+ax^2+bx+7={(sx+t)(x-2)^2}+5x+3

この式の右辺を展開して、この式が等恒式となるように係数を指定すると、答えが出ると思います。