解答と理由をお願いします。

質問

ｘ4乗ｆ（1/x）＝ｆ（ｘ）

をみたす多項式ｆ（ｘ）の次数は4以下であることを示せ。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No,1です。

ANo.1を補足すると

「x4乗」は「x^4」と書いてください。

条件：(x^4)ｆ(1/x)＝ｆ(x)を満たす多項式は４次以下
であることが必要条件です。ということは
０次や1次では条件を満たさない。
f(x)=a(≠0,定数）とすると左辺=ax^4,右辺=aでa≠0だから左辺≠右辺
　となり条件を満たすf(x)は存在しない。
f(x)=ax+b（a≠0。a,b定数）とすると
　左辺=x^4(a/x+b)=ax^3+bx^4,右辺=ax+bでa≠0だから左辺≠右辺
　となり条件を満たすf(x)は存在しない。
f(x)は２次～４次の多項式であれば、条件を満たすf(x)が存在します（必要十分条件）。

f(x)=ax^2+bx+c(a≠0,a,b,c定数)とすると
　左辺=x^4(a/x^2+b/x+c)=ax^2+bx^3+cx^4
　右辺=ax^2+bx+c
　b=cの時左辺=右辺となり
　条件を満たす２次のf(x)=ax^2(a≠0)が存在する。

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,a,b,c,d定数)とすると
　左辺=x^4(a/x^3+b/x^2+c/x+d)=ax+bx^2+cx^3+dx^4
　右辺=ax^3+bx^2+cx+d
　d=0,c=aの時左辺=右辺となり
　条件を満たす3次のf(x)=ax^3+bx^2+ax(a≠0)が存在する。

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a≠0,a,b,c,d,e定数)とすると
　左辺=x^4(a/x^4+b/x^3+c/x^2+d/x+e)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4
　右辺=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
　e=a,d=bの時左辺=右辺となり
　条件を満たす3次のf(x)=ax^4+bx^3+cx^2+bx+a(a≠0)が存在する。

f(x)が5次以上の時はnを5以上の整数として
　f(x)=ax^n+bx^(n-1) +…+ dx+e((a≠0,係数a,b,...,d,e定数)
とおくと
　左辺=x^4(a/x^n+b/x^(n-1) +…+ d/x+e)
　　=(x^n)(a/x^n+b/x^(n-1) +…+ d/x+e)/x^(n-4)
　　=(a+bx+ ... +dx^(n-1)+ex^n)/x^(n-4)
　左辺は、n≧5なのでx^(n-4)の分母にxのべき乗であり、
　分子がa≠0であるから(既約の)分数関数となる。
　右辺=ax^n+bx^(n-1) +…+ dx+eはn次の整式
　(既約の)分数関数とn次整式とは任意のxについて等しくなれないので
　左辺≠右辺。5次以上のf(x)で条件を満たす整式f(x)は存在しない。

回答No.1

info22_

f(x)を５次以上の整式とすれば、左辺を通分したとき分母のxが消えず、左辺は分数式、右辺は整式となって、
　(x^4)f(1/x)≠f(x)
成り立ちません。
よって、f(x)は４次以下の整式である。

[注意]
これは必要条件であって十分条件ではありません。