arithmetic mean

質問

もともと英文によるアメリカ人高校生を対象にした数学の問題です。

---先生はクラスの15人の生徒に次のような問題を出しました。
最初の二人の生徒は好きな数字を一つ選びます。三番目の生徒はその二人の選んだ数字の算術平均（＜arithmetic mean）を出します。そのあとの生徒は一人ずつ、自分の前にいった生徒全員の述べた数字の算術平均をだします。15人目の生徒の言った数字は何でしょう？

　答えは「１５」になるのだそうですが、なぜそうなるのかが理解できません。
　「最初の2人が好きな数字を選ぶ」ということで、たとえば「５，７」を選べば3番目の生徒は自動的に「６」を言うことになりますよね？その後なにがおこなわれ、結果的に「15番目の生徒」が「１５」を言うことになるのでしょうか？

　よろしくお願いします。

回答No.5

noname#154447

「設問の不備」による奇問、珍答というのが真相の様です。

質問者さんがご覧になったのと同じ問題と思われるものを２００７年12/26に確認致しました。
http://www.pasd.wednet.edu/school/mathWASL/hsb.htm

そこにはごくシンプルに"Answer:15"としか書いてありませんでした。また、そのページには５０問前後の問題が並んでいますが、ざっと見た限り今回質問されているような「何でこうなるのかさっぱり分からない解答」はありませんでした。

ここまでシンプルな「怪答」しかないのであれば、これは「問題転記時の書き漏らし」ではないかと仮定し、以下の文を該当ページの作成元に送ってみました。

This question's answer is 15. But if it is so, is there lack of sentence in this question?
(For example, "If the first student chooses 20, and the second chooses 10, what is the number chosen by the 15th student?")

Would you mind to solve my question?

（相当な悪文で人称変化のミスや動詞の欠落、不適切な単語選択もありますがそこはご容赦下さい）

結果、以下のような文章が送られてきました。

You are correct, it should read:
Mr. Milou challenged the 15 students in his Statistics class with the following problem. The first two students each choose a number. The third student chose 15, the arithmetic mean of the first two numbers. Each successive student chooses the arithmetic mean of the numbers
selected by all the students who have gone before. What is the number chosen by the 15th student? Explain your answer in detail.

Sorry - a mistake the group of us didn't find. We have about 2000 problems at this website and it was done about 2000 for inservice. Unfortunately, I retired three years ago and it is difficult to quickly get into the server site and make changes but I will make the change when I can.

Thanks for noticing this -- you are the only one I've had that noticed this error. I do know that the site is used frequently, but I'm not sure how many use the high school part.

Thank you for the information

質問者さんが発せられた質問である「その後なにがおこなわれ、結果的に「15番目の生徒」が「１５」を言うことになるのでしょうか」に私は答えていないのですが、これで質問者さんの「もやもや感」は払拭できるのではないかと思います。

回答No.4

info22

A#2の補足の回答

A#2で書きました結論
> 3人目から15人目が言う数字は、全部同じで
> 最初の2人の言った2つの数字「aとb」の算術平均「(a+b)/2」
> ですね。

このことを言い換えれば
>「最初の２人がどんな数字を言おうとも、１５人目が『１５』を口にすることになる」なんていう流れはあるんでしょうか？
の回答は以下のようになります。

最初の2人の言う数字の和が30となる場合だけ、15人目が『１５』を口にすることになります。

しかし、
それ以外の数字を最初の２人がいえば、15人目が『１５』を口にすることはありえませんね。

回答No.3

Parismadam

はじめまして。11／14の別の方の英語のご質問では、ご丁寧な回答の訂正をいただきまして、、、。

ご質問１：
＜もともと英文によるアメリカ人高校生を対象にした数学の問題です。＞

この問題からは、「１５」という数字は絶対に出ませんよ。

理由は、有理数の提示されていない問題からは、平均値は出せないからです。

問題にあるa number「ある数字」＝任意の数字のことですが、このaが曲者です。実はヒントはこのaにあります。

ご質問２：
＜答えは「１５」になるのだそうですが＞

この「答えは１５になる」というのは、解答欄に書いてあったのですか？それとも数学教師がそう教えてくれたのでしょうか？

１．解答欄に書いてあった場合：

問題はExplain your answer in detail.ですから、１５が正解なら、その説明も書いていると思います。

２．教師がそう教えてくれた場合：

それがヒントになります。つまり、「答えは１５になるんだが、何故だかわかるかね？」といった質問が出されたのではないでしょうか。

だとしたら、答えは簡単です。

解答：
「何故なら、最初の二人が選んだ任意の数字は、合計すると30になる数字だったからです」

これがExplain your answer in detail.の答えです。

ご質問３：
＜なぜそうなるのかが理解できません。＞

この問題は、「答えは何の数字になるか？」ではありません。そんな答えは出ないからです。

但し、「答えは１５になる」が質問・ヒントの一環であれば、Explain your answer in detail.という質問には、上記のような解答が導き出せます。

この問題の意図は、最初の二人が選んだ「aとb」という、a number「任意の数字」の条件を問う問題なのです。

その条件とは、(a＋b)／2＝15になる条件であり、それを言葉で表せば上記の解答
「最初の二人が選んだ任意の数字は、合計すると30になる数字だった」
となるわけです。

以上ご参考までに。

回答No.2

info22

＞「15番目の生徒」が「１５」を言うことになるのでしょうか？
違いますね。「6」ですね。

1)5
2)7
3)2人目までの和S2=(5+7)=12,3人目の数字=S2/2=6
4)3人目までの和S3=(S2+6)=6*2+6=6*3,4人目の数字=S3/3=(6*3)/3=6
5)4人目までの和S4=(S3+6)=(6*3+6)=6*4,5人目の数字=S4/4=(6*4)/4=6
…
14)13人目までの和S13=(S12+6)=(6*12+6)=6*13,14人目の数字=S13/13=(6*13)/13=6
15)14人目までの和S14=(S13+6)=(6*13+6)=6*14,15人目の数字=S14/14=(6*14)/14=6
15番目の生徒が言うのは「6」ですね。

最初の2人の数字を2と7としてみると
1)2
2)7
3)2人目までの和S2=(2+7)=9,3人目の数字=S2/2=4.5
4)3人目までの和S3=(S2+6)=4.5*2+4.5=4.5*3,
4人目の数字=S3/3=(4.5*3)/3=4.5
5)4人目までの和S4=(S3+4.5)=(4.5*3+4.5)=4.5*4=18,
5人目の数字=S4/4=(4.5*4)/4=4.5
…
14)13人目までの和S13=(S12+4.5)=(4.5*12+4.5)=4.5*13,
14人目の数字=S13/13=(4.5*13)/13=4.5
15)14人目までの和S14=(S13+4.5)=(4.5*13+4.5)=4.5*14=63,
15人目の数字=S14/14=(4.5*14)/14=4.5
15番目の生徒が言うのは「4.5」ですね。

以上から分かることは15人目が言う数字は、
最初の2人の言った2つの数字「aとb」の算術平均「(a+b)/2」
であると言えますね。

3人目から15人目が言う数字は、全部同じで
最初の2人の言った2つの数字「aとb」の算術平均「(a+b)/2」
ですね。

補足

やっぱりこの問題文から読み取れるのはそうですよね？
最初の２人が言う数字次第で答えが変わると思うんですが、この問題の解答には「１５」とあったんだそうです。

それで問題の主旨の読み違えかな？と思って質問しました。
でも英文の問題の意味もどうやら読み違えていないようで、、。

逆に考えたとして、「最初の２人がどんな数字を言おうとも、１５人目が『１５』を口にすることになる」なんていう流れはあるんでしょうか？

回答No.1

Tacosan

この問題が正しいとすると, 3人目以降は同じ数字にしかならないはずなんだけどなぁ....
他に文章があったりしませんか?

補足

私もそう思ったんです、、、。
確かにこれで問題文全部（先生の名前が固有名詞で出ていたり、明らかに出題の趣旨と無関係な箇所は編集しました）なんです。

念のため原文を以下に添えます：
Mr. Milou challenged the 15 students in his Statistics class with the following problem. The first two students each choose a number. The third student chooses the arithmetic mean of the first two numbers. Each successive student chooses the arithmetic mean of the numbers selected by all the students who have gone before. What is the number chosen by the 15th student? Explain your answer in detail.