数列 不等式 証明

質問

相異なるn個の実数a1,a2,a3,・・・,anが不等式a1-a2＞a2-a3＞・・・＞a(n-1)-an＞an-a1(n≧3)をみたすならn個の実数のうちa1が最大であることを証明せよ

どうやればいいのか教えてください

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

階差bk=a(k+1)-ak(k=1,2,・・・,n-1)とおくと不等式は

（☆）b1<b2<・・・<b(n-1)<a1-an

とかける．

[1]a1<anのとき，

b1<b2<・・・<b(n-1)<0
∴a1>a2>a3>・・・>a(n-1)>an
∴a1>an矛盾

[2]a1>anのとき．☆より{b_k}は減少数列だからどこかで0未満になる可能性がある（A）．そうならないかもしれない（B）．
(A)あるl(n-1≧l≧1)において（後ろかたどって）始めてbl<0とする．

b1<b2<・・・<bl<0<b(l+1)<・・・<b(n-1)(l=n-1のときは0より右は無視)
∴a1>a2>a3>・・・>a(l-1)>al>a(l+1)<a(l+2)<・・・<a(n-2)<a(n-1)<an(l=n-1のときa(n+1)右は無視)

よって最大値はa1またはan．a1>anよりa1が最大値．

(B)b1>0とする．

0<b1<b2<・・・<b(n-1)

より

a1<a2<a3<・・・<a(n-1)<an

∴a1<an矛盾．

以上より，[2](A)の場合のみが実現され，a1が最大値である．

回答No.2

noname#163983

数列に一つ項を加えてa_(n+1)=a_1とする。
もしa_1が最大でないとすると、あるk（2≦k≦n)についてa_kが最大となる。

すると、
0≧a_(k-1)-a_k>a_k-a_(k+1)≧0
となって矛盾。

回答No.1

f272

たとえばa2が最大なら
0>a1-a2
だから
a1-a2＞a2-a3
を使って
0>a2-a3
となる。つまりa2よりもa3が大きい。これはおかしいでしょ。

補足

数学的帰納法ですか？