円の中心を通る三角形の角度

質問

円の中心Oと円周上ABを結んだ三角形があります。
三角形の３辺の長さが分かるとき、それぞれの角度は求められますか？
求められる場合は、求め方を教えてください。

半径と孤の長さがわかるのなら、
円周長さに対してどれくらいの割合か考え、
３６０°にその割合をかければ角度を求められますよね？
弦の長さが分かる場合はどうでしょうか？

私が考えた方法は、
例えば半径の長さが25で弦の長さが30だった時
まずOから辺AB上と垂直に交わる点Cを置き
三角形OACの直角三角形をつくりました。
するとAOの長さは25、ACの長さは15になり
cosA＝15/25＝0.6
よってAはおよそ53°
というものなのですが、こんな求め方でいいんでしょうか？

例えば、三角関数を習っていない
中学生の子でも求められる方法ってありますか？

回答No.11

178-tall

< ANo.5
　　↓
>数学IIまでしか習っていない私でも理解できるやり方はありますか？
　　↓
参考 URL　： sinx/xについて覚えておくべき2つのこと | 高校数学の美しい物語
など、ご参考に … 。

ザックリ言えば「角度 x (ラジアン) が微小なら、sin(x) は x とほとんど同じ値」だということ。
一般に sin(x) ≒ x は成立しませんよネ。
そんな場合、x を十分大きな自然数 (N) で等分して sin(x/N) ≒ x/N を成立させれば、sin(x) = S を近似的に満たす x を求められます。

一例として x を 2 等分していく勘定でも…。

n　　m　　 sin(x/m)　　u (rad)　　sin(u)　　 u (度)
-　　--　　-------　　 -----　　 -----　　　 ----
0　　 1　　8.000e-1　　　　　　　　
1　　 2　　4.472e-1　　0.8944　　0.7799　　　51.25
2　　 4　　2.298e-1　　0.9190　　0.7950　　　52.66
3　　 8　　1.157e-1　　0.9252　　0.7988　　　53.01
4　　16　　5.792e-2　　0.9268　　0.7997　　　53.10
5　　32　　2.897e-2　　0.9272　　0.7999　　　53.12
6　　64　　1.449e-2　　0.9273　　0.8000　　　53.13

m = 2^k ,　u (rad) = m*sin(x/m) 。

sin(U) から sin(U/2) への勘定は sin 半角算式、
　sin(U/2) = √[ {1 - cos(U) }/2 ]
を利用。
cos(U) = √{ 1 - sin^2(U) } なる関係を使うが、そのままでは減算での桁落ちが大きくなるので、
　sin(U/2) = sin(U)/√[ 2{1 + √(1 - sin^2(U) ) } ]
と変形している。

参考URL：

http://mathtrain.jp/sinc

回答No.10

staratras

No.6です。N0.6の近似計算は、少し改良することができます。

下の図は、No.6の図の一部を拡大したものですが、Aを中心とする半径25の円はOBとO以外の点O’でも交わります。図の対称性からOC=O'C、円弧OD=円弧O'D なので、角O'AD=角OAD=θ　となり、角O'ADを中心角とする円周角なので、角O'OD=θ/2 です。

ここでOを中心とし、OD(=5√2)を半径とする円を考え、OBとの交点をEとすると、直角三角形CEDにおいてCD=1,CE=OD-OC=5√2-7 なので、DE=√(1^2+(5√2-7)^2)=√(100-70√2)

円弧DEの長さを弦DEの長さで近似させると、360:θ/2=(10√2)π:√(100-70√2)
θ=［36√(200-140√2)］/π≒16.246566…　これより角A≒53°.12328…　　

改良前が角A≒53°.10284… で真の値が角A=53°.130102…なので、少し改善されています。

回答No.9

178-tall

< ANo.5
　　↓
>「cos(A) 値を与えられて A を知る手段」の一例。
>公式、
>　sinc(x) = sin(x)/x
>　　 ∞
>　= Π cos(x/2^k)　　　…(1)
>　　k=1
>から求めた近似値の利用。

cos(A) = 15/25 = 0.6 なら？　sin(A) = 0.8 。
m = 2^k とし、cos 半角算式を利用して k=8 まで累積してみた。

k　　　m　　cos(A/m)　　Π
-　　 --　　-----　　 ----
1　　　2　　0.8944　　0.8944
2　　　4　　0.9732　　0.8705
3　　　8　　0.9933　　0.8647
4　　 16　　0.9983　　0.8632
5　　 32　　0.9996　　0.8628
6　　 64　　0.9999　　0.8628
7　　128　　1.0000　　0.8627
8　　256　　1.0000　　0.8627
　　　　　　　　　　　　≒sin(A)/A = 0.8/A

つまり、
　A≒0.8/0.8627 = 0.9273 (radians)
　= 53.13 (degrees)

お礼

何度も回答ありがとうございます。

cos 半角算式を調べてみました。
スミマセン、今ちらっと調べただけでは理解ができませんでした。
今度もう少し時間がある時にもう一度調べて勉強したいと思います。

回答No.8

staratras

No.6・7です。この近似計算の誤差は以下の通りです。ご質問の例の場合、
近似計算による角度　 A=53.102846…
cosA=0.6 による角度　A=53.130102… 単純な割にはそこそこの結果かと思います。
なおこのNo.6の方法は、弦の長さが円の半径に近いとき、つまり二等辺三角形が正三角形に近いときに効果的です。

弦の長さが円の半径と比較して相当小さいとき、つまり三角形が細長く尖った二等辺三角形のときには、中心角が小さいため、直接円弧AB≒弦ABが使えます。

また弦の長さが円の半径と比較して大きいとき、つまり二等辺三角形が底辺が長い鈍角三角形のときには、BOを延長して円周との交点をB'とし、鋭角二等辺三角形AB'Oについて、円弧AB'≒弦AB'が使えます。

回答No.7

staratras

No.6です。誤記を2か所訂正します。失礼しました。

誤：OC=x,AH=y とおく。　
正：OC=x,AC=y とおく。

誤：ここでOCを延長し、Aを中心とする半径25の円との…
正：ここでACを延長し、Aを中心とする半径25の円との…

回答No.6

staratras

>三角関数を習っていない中学生の子でも求められる方法ってありますか？

中心角が小さいときには円の弦の長さと弧の長さの差が小さくなる（和算家風の表現では「弦は限りなく弧に親しむ」）ので弦の長さを円弧の長さの近似値として使うことを認めてもらえれば、三平方の定理を使って近似的に求めることができます。

ご質問の半径25、弦長30の場合、下の図のようにAからOBに垂線ACを下ろし、OC=x,AH=y　とおく。
三平方の定理より直角三角形AOCにおいて　x^2+y^2=25^2 …（１）
　　　　　同様に直角三角形ABCにおいて　(25-x)^2+y^2=30^2　…（２）
(1)ー(2)　より50x=350 だからx=7,(1)に代入して　y=24

ここでOCを延長し、Aを中心とする半径25の円との交点をDとする。角OAC=θとする。
直角三角形OCDにおいて　OC=x=7,CD=25-y=1 だから　OD=√(7^2+1^2)=5√2

円弧ODを弦ODで近似すると、360:θ=50π:5√2　θ≒16°　
したがって角AOB≒74°　角OAB≒(180-74)/2=53°

回答No.5

178-tall

>半径と孤の長さがわかるのなら、　円周長さに対してどれくらいの割合か考え、　３６０°にその割合をかければ角度を求められますよね？

∠O = 弧長÷半径 (radians)
他の 2 角 は各々 { (π/2) - ∠O } / 2 (radians)

>弦の長さが分かる場合はどうでしょうか？
>私が考えた方法は、　例えば半径の長さが25で弦の長さが30だった時　まずOから辺AB上と垂直に交わる点Cを置き　三角形OACの直角三角形をつくりました。
>するとAOの長さは25、ACの長さは15になり
>cosA＝15/25＝0.6
>よってAはおよそ53°　というものなのですが、こんな求め方でいいんでしょうか？

cosA 値を与えられて A を知る手段をもってるなら、それでよさそう。

「cos(A) 値を与えられて A を知る手段」の一例を … 。
公式、
　sinc(x) = sin(x)/x

　　∞
　= Π cos(x/2^k)
　　k=1

から求めた近似値の利用。

お礼

回答ありがとうございます。

そうなんです、
私の方法は三角関数表をネットで調べたから
およそ53°とわかるんです。
表がなかったらどうやって求めるのかわからないですし
また、およそ53°ではなく
５3.いくつなのかも知りたいと思っていました。

でも、私の数学力では、
＞sinc(x) = sin(x)/x

＞　　∞
＞　= Π cos(x/2^k)
＞　　k=1
が何を意味しているのかが、
残念ながら、全くわかりませんでした…。

数学IIまでしか習っていない私でも理解できるやり方はありますか？

回答No.4

kanemoto_s

#3です、何か勘違いな回答でしたすみません
m(_ _)m

お礼

何度もありがとうございます。

学生の頃は、数学は好きな科目だったのですが
学生でなくなってからは、数学と触れ合う機会もなく
どんな解き方があったか、思い出すのに苦労しました。
なので、孤の長さからは簡単に角度がわかるなら
弦の長さからも、何か簡単に求める方法があるけど
多分、思い出せないだけなのかなと思い質問させていただきました。

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

kanemoto_s

#2です。
書き忘れです。

>こんな求め方でいいんでしょうか？

あまりスマートな方法ではありません。
弧の長さCが分かっているなら、
角AOB=360°×C/2πR
になります。

回答No.2

kanemoto_s

>弦の長さが分かる場合はどうでしょうか？

OABは二等辺三角形ですから、2つの直角三角形に分けて考えると、
sin(角AOB/2)=(AB)/2R
を満たす角度で中学生でも高校生でも指導要領外ですね。

正三角形と直角二等辺三角形の場合は中学生でも角度が解ります。