三角錐の角度

質問

正三角錐の尾根(辺)の角度は何度になりますか？

回答No.6

osaka-girl · ベストアンサー

ごめんなさい5番です
>その点をFとするとBF=1、BE=√3で、三角形EFBはBFを斜辺とする直角三角形です。
この文章は間違いです。ただしくは、
「その点をFとするとBF=1、BE=√3で、三角形EFBはBEを斜辺とする直角三角形です。」

どうもすみませんでした。

お礼

この解説ではっきりと理解出来ました。　　
それと、正四面体＝正三角錐と思ってたけれどそうとは限らなかったんですね。　　　
他の回答者の方も混乱させてしまいました。
知識不足でした。　　　　　　　　　　　
分かりやすい解説ありがとうございました。

回答No.7

atamagawarui5

この問題って？
辺角求めるんですよね？

面角求めるのですか？
1番さんの答えにだけ補足付いているということは、面角求める問題だったのですか？

それなら1番さんの答えが合っています。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

osaka-girl

1番です、その方法でもあっていますよ。

まず正三角錐とは、すべての面が正三角形でできた四面体です（定義）
底面が正三角形で、その重心からの垂線上に頂点のある場合を
正三角錐という場合もありますが、一般的には正四面体のことです。
さて、私の回答は、添付の図の角ABEを求める問題ととらえています。
点Eは、DCの中点です。
正三角錐の一辺の長さを２とします。AE＝BE＝√３ですね。
つまり三角形EABはABを底辺とする二等辺三角形なのです。
ですからEから、ABに垂線を下すとABの中点になります。
その点をFとするとBF=1、BE=√3で、三角形EFBはBFを
斜辺とする直角三角形です。
ですから、cosθ＝1/√3になります。

回答No.4

178-tall

一例として、「直立・正三角錐」の場合でも…。
「正三角形」の重心の真上に三角錐の頂点がある場合、です。
側面の三角形は、三つとも同寸法の二等辺三角形になる。

「正三角形」の辺長を L とすると、「正三角形」の各辺端から重心への距離は、
　　L/√(3)
「直立・正三角錐」の頂点高さを H とすれば、側面三角形の等辺の長さは、
　　√{H^2 + (L^2/3)}
側面三角形の二等辺がなす角をθとして、余弦定理により、
　　L^2 = 2{H^2 + (L^2/3)} - 2{H^2 + (L^2/3)}*cosθ
が成立つ。

結局、
　　cosθ = 1 - (L^2/2)/{H^2 + (L^2/3)}
を得る。

たとえば、
　　H = 0 なら、θ= 120 度
　　H = L*√(2/3) なら、θ= 60 度 (正四面体)
など。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

「正三角錐」とは？

よくわからないので、
　一平面上に「正三角形」を描き、その平面外にある一点と「正三角形」の各頂点を直線で結んで
　得られる錐体
とでもしましょうか。

だとすると、その錐体の側面にできた三つの三角形ごとに頂点角を計らねばなりませんね。
挑戦してみて。

お礼

正四面体のことでした。　　　　　　　　
正三角錐＝正四面体じゃなかったんですね。
回答ありがとうございます。

回答No.2

atamagawarui5

2等辺三角形の計算で求まるでしょ？
正三角錐なので横から見れば正三角形
三角形の角度合計が１８０°なので
１８０/3=60
６０°でいいのは？
と暇人の答えです。

回答No.1

osaka-girl

尾根の面で切断すると、辺の比が　2：√3：√3　の二等辺三角形ができます
頂点から垂線を下すと、斜辺が√3、辺が1の比の直角三角形になりますので
cosθ＝1/√3
となります。
θ＝arccos（1/√3）で、約54.73度です

補足

2 :√3 :√3の２が尾根の長さで、√3が正三角形の頂点から底辺に下ろした垂線の長さで、もう一つの√3が底面になってる正三角形の頂点(尾根の下端)から底辺(さっきの垂線の下端)に下ろした垂線ってことですね。　　　　　　　　　　　　　　　　
ただその後の斜辺が√3、辺が1というのがよく分からないです。　　　　　　　　　　

P.S.　自分ではまず一辺1ｍの正三角形を真上から見下ろした平面図形として考えました。　　　　　　　　　　　　　　　　　

底面の正三角形の３角に三ツ矢サイダーのマークみたいな三本の矢(尾根)の先っぽが接して30°、120°、30°の二等辺三角形が３個できます。　　　　　　　　　　　　　　

そして120°の角から底辺に垂線を下ろすと底辺を二等分するので0.5ｍの底辺の小さな直角三角形ができます。　　　　　　　　　　

で、その小さな直角三角形の角度は30°、60°、90°でこの対辺の比が1 : √3 : 2になり60°の対辺が0.5ｍです。　　　　

この時直角の対辺が尾根を真上から見た長さなのでそれをxにして求めると、√3 : 0.5＝２: x → x＝1/√３となります。　　　

で、尾根の角度をθとすれば、cosθ＝1/√３、1/√３は約0.5773で三角関数表から約55oとなりました。　　　　　　　　　

長ったらしくなりましたが回答者の方とほぼ同じ回答が出ましたが、これで合ってますか？