定積分 体積

質問

座標空間において、4点（2,2,0）、（-2，2，0）、（-2、-2,0）、（2、-2,0）を頂点とする正方形を底面とし、点（0,0,4）を頂点とする四角錐の内部で、x>=1にあたる部分の体積の求め方を教えてください。

回答No.4

info22

#2です。
A#2の補足質問の回答
>長方形の面積を求める際に何故2を掛けてるのでしょうか？

長方形のy軸方向の幅が2y(=y-(-y))なので2倍となっている。」と考えても良いし、
あるいは求める立体の形状がy=0の平面（xz平面）に面対称のため、
長方形のy≧0の方の体積を2倍してやると全体の立体部分の体積になる
と考えてもいいですね。

回答No.3

banakona

下図は＃２さんとは異なる断面で切ったものです。長方形より台形の方が難解に思えますが、やってみるとこちらの方が式を立てる時も積分も簡単。いや、積分は＃２さんのは下がゼロだから簡単かな？
お試しあれ。

因みにｙ軸に垂直な断面は、場合分けが必要になるのでヤメた方がいいでしょう。

お礼

図を添付して下さるとは
ご厚意有難うございます。
大変わかりやすかったです。

回答No.2

info22

高さzの時の求める立体の体積Vの斜面のx座標,y座標を求めると
点(0,0,4)-(2,2,0)-(2,-2,0)を通る斜面
z=4-2x　→ x=(4-z)/2
点(0,0,4)-(-2,2,0)-(2,2,0)を通る斜面
z=4-2y →　y=(4-z)/2
求める立体の高さzにおける長方形断面S(z)は
S(z)=2(x-1)*y=(2-z)(4-z)/2
これを高さz=0～2の範囲で積分すれば体積Vになる。
式で書けば
V=2∫[0,2] (x-1)ydz
=2∫[0,2]{(2-z)/2}*{(4-z)/2}dz
=(1/2)∫[0,2](2-z)(4-z)dz
となります。
あとは積分するだけですのでできますね。

分からなければ、やった解答の詳細を補足に書いて行き詰ったところを質問してください。

補足

回答有難うございます。
早速質問です。長方形の面積を求める際に何故2を掛けてるのでしょうか？

回答No.1

tksmsysh

四角錐の、x=k(1≦k≦2)での切り口を考えましょう。
切り口に表れた図形の面積をkで表しましょう。これをS(k)とします。
最後に1≦k≦2でS(k)を積分すれば、それが求める体積です。

一般に、体積求値問題は
(1)ある平面での切り口を考える。(軸に垂直であること)
(2)切り口に表れる図形の面積を求める。
(3)積分する。
で求められます。