数学 三角関数の弧度法を用いた計算方法を…

質問

高校数学を独学でやってます。今、数IIの弧度法の辺りをやっているんですが、解説の解き方での計算方法が理解できず、困っています。

問.次の式の値を求めよ。

sin17/6π・tan(-19/3π）+cos(-13/6π）・tan21/4π

私の解答方法ですが、 まず弧度法を用いている本問から度のみに置き換え、それを計算しています。

sin17/6π＝180/6 ・17＝sin510°
tan(-19/3π）＝180/3・-19＝tan-1140°
cos(-13/6π）＝180/6・-13＝cos-390°
tan21/4π＝180/4・21＝tan945°
なので、本問を「sin510°・tan-1140°+cos-390°・tan945°…(2)」にする事が出来ますよね。ここから計算しやすいように(2)を(3)の様に置き換えます。
sin150°+4π・tan300°-8π+cos330°-4π・tan225°+4π…(3)
そして更に(3)のπはn・2πなので、全て消せる。だから
sin150°（＝sin60°）・tan300°（＝-tan30°）+cos330°（＝cos60°）・tan225°（＝tan45°）…(4)
こうなると思います。残りは計算するだけで、
sin60°・-tan30°+cos60°・tan45°
＝√3/2・-1/√3+1/2・1…（5）
＝-1/2+1/2
＝0

こうなります。実際の答えは0で当たってはいるんですが、模範解答は以下の様になっています。
＝-sin17/6π・tan19/3π+cos13/6π・tan21/4π…(1)｀
＝-sin5π+12π /6・tanπ+18π /3+cosπ+12π /6・tan5π+16π /4…(2)｀
＝-sin(5/6π+2π）・tan(π/3+6π）+cos(π/6+2π）・tan(5/4π+4π）…(3)｀
＝-sin5/6π・tanπ/3+cosπ/6×tan5/4π…(4)｀
＝-1/2×√3+√2/2×1＝0…(5)

(1)は解説で「tanの中の負の符号は表に出し、cosの中の負の符号は握りつぶす！」と書かれてあるんですが、何故そうするのかが分かりません。
(2)は何故「-sin5π+12π」と「tan5π+16π」に分かれるのが分からないです。2π＝360°で整数倍だから消す事が出来るのは分かります。なら、-sin3π+14πや-sinπ+16πの様にする事は出来ないのでしょうか。他の二つに疑問が無いのは私が言うようにギリギリの所まで2nπの形になっているからです。
(3)～(5)の部分には特に疑問はありません。

解答の(1)と(2)の部分の分からない所と個人的な悩みですが、「負の符号が付いた場合、-cosA°と書くのとcos-A°で書くのはどちらが正しいのか」「弧度法に出てくるπは本誌では「ラジアン」と書かれていますが、問題に出てくる時に2πを2パイと読むべきか、それとも2ラジアンと読むべきか」の3つを解説して頂けたらと思います。
量が多いですが、よろしければご回答お願いします。

回答No.2

j-mayol · ベストアンサー

（１）について
(1)は解説で「tanの中の負の符号は表に出し、cosの中の負の符号は握りつぶす！」
本質を解説しないで、現象だけを覚えさせようとする解説に問題がありますね。
正接（tan)は第１・３象限で正の値、第２・４象限で負の値をとるため
０度から正の方向とと負と方向に同じ角度をとった場合の値は符号が逆になります。
つまりtan(-θ）＝-tanθとなるわけです。
余弦の場合は１・４象限で正、２・３象限で負ですから・・・あとは考えてみてください。

（２）について
-sin5π+12π /6・tanπ+18π /3+cosπ+12π /6・tan5π+16π /4
というのがわけが分からなくなる原因でしょう。帯分数で考えればいいのです。
17/6πを２と5/6πとすれば疑問は生じないでしょう。
21/4πは５と1/4πつまり２π２つと１と1/4πということです。

お礼

丁寧なご解説有難うございます。お陰様で難なく理解する事が出来ました。

回答No.1

k14i12d

独学でやるなら、(というかまあ、独学じゃなくてもなんですが、)定義をしっかりおさえたうえで、問題に触れてみるべきです。
何故ならすでにあなたがおかしているようなミス(というか、勘違い)が絶対に起こるからです。
(1)の解説は、定義を抑えていれば、疑問もなにもおこらない話なんですよ。
三角関数の定義として、単位円上の座標(x,y)がx軸からの左回りを正とした角度θを用いて(cosθ,sinθ)となるわけですから、当然
sin-θ=-sinθは単位円で考えれば自明。cos-θ=cosθも自明なわけですよ。
tanθ=sinθ/cosθなわけで、当然上の考察より、(単位円で考えてもよいが、)tan-θ=-tanθは自明なんですよ。
(2)については、よく角度を見て下さい。
sin{(5π+12π)/6}だからそのように表記しているだけです。
あなたの提示したものだと、1/6を()の中に入れた時整数になりませんね。
tanに関しても、同じです。
分数を勝手に省かないで下さい。
あと、個人的なアドバイスですが、あなたは独学には向いていないように思います。
定義をおさえたうえで問題に触れるなら独学でも十分効果はありますが、定義もわからぬままに独学しても、混乱してなにも得られないからです。(実際混乱して、なにも得ていない。)
新しく出て来た弧度法も、わざわざ度数法に直して計算していますしね。
もちろん計算しやすいほうで計算するのは構いませんが、弧度法の定義もわかっていないようですから。
最後の質問は、cos-A≠-cosAだから、表記の仕方に悩む必要はない。
それから、2πは2パイや、2ラジアンとよむのではなく、2パイラジアンと読みます。(正式には、ですが。)
ちゃんと参考書を読みましょう。きっと書いてあるはずです。(少なくとも教科書には書いてある。)