マクローリン展開の問題

質問

以下の問題をマクローリン展開をするにはどうすればいいのでしょうか？どなたか教えてください。
(1)(e^3x)-e^-3x/2　→(eの3x乗-eの-3x乗/2)
(2)1/(x^2)+x-6

回答No.1

info22 · ベストアンサー

定義式通り
n階微分係数を求め、x=0とおいたものをn!で割ったものをx次の項の係数につけるだけです。

(1){e^(3x)}-{e^(-3x)}/2
=(1/2)+(9/2)*x+(9/4)*(x^2)+(27/4)*(x^3)+(27/16)*(x^4)+(243/80)*(x^5)
+(81/160)*(x^6)+…

(2)1/{(x^2)+x-6}={1/(5*(x-2))}-{1/(5*(x+3))}
=-(1/10)-(1/20)*x-(1/40)*(x^2)-(1/80)*(x^3)-(1/160)*(x^4)
-(1/320)*(x^5)-(1/640)*(x^6)-…
-[(1/15)-(1/45)*x+(1/135)*(x^2)-(1/405)*(x^3)+(1/1215)*(x^4)
-(1/3645 )*(x^5)+(1/10935)*(x^6)-…]
=-(1/6)-(1/36)*x-(7/216)*(x^2)-(13/1296)*(x^3)-(55/7776)*(x^4)
-(133/46656)*(x^5)-(463/279936)*(x^6)-…

お礼

マクローリン展開をしたものは最終的な答えは・・・も含んで終わるんですか？

回答No.2

info22

＞マクローリン展開をしたものは最終的な答えは・・・も含んで終わるんですか？
項数は無限に続きますので、それを表すのに
「+ …」とか「- …」とか「+ O(x^6)」（x^6　以上の多項式）など　
といった表現を使います。最後の表現は大学以上の数学で使われます（使われない場合は前の「…」を使います）。

問題として出題される場合は「何項まで求めよ」とか「何次の項まで求めよ」
といった指定がつくと思います。

また、実際に数値計算する場合は、何項までとれば
「有効桁数何桁の精度で計算できる」とか、「小数以下何桁まで正しく求めよ」
といった誤差論に基づく必要な項数まで採用することが行われます。
そういった場合は、必要な項数まで計算するために、マクローリン展開のn項目の一般項を求めておく必要が出てきます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
これでマクローリン展開が少しわかるようになりました。