マクローリン展開について
マクローリン展開について
以前あるサイトで質問したのですが、その回答がよくわからなかったのでこちらで質問します。
1/1-x についての級数展開の質問になります。
1/1-xをマクローリン展開すると、1+x+x^2+x^3+x^n+・・・・とないっていきますが、この時の収束がわかりません。
以前質問したときにこんな回答がありました。
f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!
Sm(x)=Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n!=Σ[n=0,m-1]x^n (級数Σ[n=0,∞]x^nのm部分和)
f(x)にマクローリンの定理を適用したときの剰余項をRm(x)とすると
f(x)=Sm(x)+Rm(x)
と表わせる。
|Rm(x)|=|Sm(x)-f(x)|
=|Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n! -1/(1-x)|
=|Σ[n=0,m-1] x^n - 1/(1-x)|
=|(1-x^m) / (1-x) - 1/(1-x)|
=|x^m/(1-x)|…☆
しかし、f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!というのが分かりません。
どこからこのような式はでてくるのでしょうか？
また、剰余項というのは、級数は無限には実際計算できないわけで、例えばn=５とかで計算を終わらせる必要がありますが、
その時n=6以降の項は切り捨てることになります。
その切り捨てた項が剰余項となるのでしょうか？
余った項とかくので。
収束条件と剰余項がどういう関係があるのかはいまいちわかりませんが。
