合成関数の微分法

質問

以下に指定するf(x,y)とx(t),y(t)の合成関数f(x(t),y(t))の
t=1での微分係数を求めなさい。
合成関数の微分法の公式をつかって計算すること。

(1)
f(x,y)=√（x^2+y^2） および x(t)=t^2+2, y(t)=4t

(2)
f(x,y)=log(x^2+4y^2)　および　x(t)=te^t, y(t)=e^t/t

（１）は自分でやってみて、22/5になりました。
（２）は皆目わかりません・・・
どなたか解答をお願いします。
（１）ももし間違っていたらそちらもお願いします>_<

回答No.6

alice_44

そのとおりだ。
4/5 だね。

回答No.5

Mr_Holland

いろいろな回答がありますが、（２）は　４／５　だと思います。

x(1)=e, y(1)=e
dx/dt=(1+t)exp(t)　　　　∴dx/dt|(t=1) =2e
dy/dt=(t-1)/t^2 exp(t)　∴dy/dt|(t=1) =0

df/dx=2x/(x^2+4y^2)　　　∴df/dx|(t=1) =2e/(5e^2)=(2/5)/e
df/dy=8y/(x^2+4y^2)　　　∴df/dy|(t=1) =8e/(5e^2)=(8/5)/e

　df/dt=dx/dt df/dx + dy/dt df/dy
∴df/dt|(t=1) =2e×(2/5)/e+0×(8/5)/e =4/5

回答No.4

alice_44

(2) は、log(4/5) じゃないの？

df/dt = { 2x(dx/dt) + 8y(dy/dt) } / ( x^2 + 4y^2 )
x = te^t
dx/dt = e^t + te^t
y = (e^t)/t
dy/dt = (e^t)/t - (e^t)/t^2

に t = 1 を代入するんでしょう？

回答No.3

sanori

再びお邪魔します。
Ｎｏ．１様の回答と私の回答が不一致ですが、たぶん、私の方が間違えていると思います。

回答No.2

sanori

(1)
f(t) = ((t^2+2)^2 + (4t)^2)^(1/2)
= (t^4 + 4t^2 + 4 + 16t^2)^(1/2)
= (t^4 + 20t^2 + 4)^(1/2)

f'(t) = (4t^3 + 40t)・1/2・(t^4 + 20t^2 + 4)^(-1/2)

f'(1) = (4 + 40)・1/2・(1 + 20 + 4)^(-1/2)
= 44・1/2・25^(-1/2)
= 44・1/2・1/5
= 22/5
同じになりました。

(2)
f(t) = log(t^2・e^(2t) + 4e^t/t)
= log{(e^t)(t^2・e^t + 4/t)}
= log(e^t) + log(t^2・e^t + 4/t)　　← logAB = logA + logB より
= t + log(t^2・e^t + 4/t)

f'(t) = 1 + (2t・e^t + t^2・e^t - 4/t^2)・1/(t^2・e^t + 4/t)　←積の微分、および、(logx)'= 1/x より

f'(1) = 1 + (2・e + e - 4)/(e + 4)
= 1 + (3e - 4)/(e + 4)
= (e + 4 + 3e - 4)/(e + 4)
= 4e/(e+4)

回答No.1

info22_

(1)
>（１）は自分でやってみて、22/5になりました。
合っています。

(2)
>f(x,y)=log(x^2+4y^2)　および　x(t)=te^t, y(t)=e^t/t

df/dt=(2xdx/dt+2ydy/dt)/(x^2+y^2)
=2{te^t*e^t*(1+t)+(e^t/t)*e^t*(t-1)/t^2}/{t^2*e^(2t)+(e^2t)/t^2}
=2(t^5 +t^4 +t-1)/(t(t^4+ 1))
df/dt(t=1) = 2