合成関数の微分についておしえて！

質問

たとえばｙ＝３ｘ＾２　にｙ＝３ｘを左の関数のｘに代入すると27
x^2になってこれを微分すると５４ｘになりますが、それぞれ微分してかけると、１８ｘになってしまい、合成関数の微分の等式をみたしていません　参考書には複雑な関数のときにこのしきを使うと記述されていますが、どうゆうことでしょうか？
オイラーの公式の説明の過程でこの記述が参考書に書かれていたのですがまったくわかりません　おしえてください！

回答No.2

piro19820122 · ベストアンサー

＞たとえばｙ＝３ｘ＾２　にｙ＝３ｘを左の関数のｘに代入すると

これは一体何を意味する操作でしょうか？
y=3x^2 と y=3x の連立方程式を解くのなら分かりますが…

＞27x^2になってこれを微分すると５４ｘになりますが、

これは全く意味不明です。
そもそも「何が」27x^2 になるのでしょうか？
上述の代入操作を行えば、 3x = 3x^2 となり、
整理して x(x-1) = 0 となるので、 x=0,1 という解が求まります。
どこにも 27x^2 は出てきませんし、微分とは何ら関係がありません。

仮に y = 27x^2 をxについて微分するのだとしても、
これは上の２式から導かれるものではなく、全く別の式です。

以上のことを鑑みると、微分とは何かという根本的なことを理解せずに「微分の操作」だけを行おうとしているのではありませんか？　今一度微分とは何かを勉強しなおしてください。

その上で、合成関数の微分ですが、あなたの例を少し変えて使うと
y = 3t^2, t = 3x
という式があって、このときに
dy/dx = dy/dt × dt/dx
というのが公式です。これを計算すると
dy/dt = 6t, dt/dx = 3
ですから、
dy/dx = dy/dt × dt/dx = 6t × 3 = 18t = 54x
となります。

一方、最初に t=3x を y=3t^2 に代入しても、
y = 3(3x)^2 = 27x^2
となりますから、
dy/dx = 54x
で、合成関数の微分公式を使ったものと同じものが得られます。

お礼

ありがとうございました！　いまいちど勉強しなおします！

回答No.1

Tacosan

「ｙ＝３ｘ＾２　にｙ＝３ｘを左の関数のｘに代入する」
というのはどのような操作のことを指すのでしょうか? この時点で日本語がおかしいし, 記号も混乱しているためにそのあとが分からなくなっているのではないでしょうか.
例えば z = 3y^2 に y = 3x を代入すると z = 27x^2 で, これを x で微分すると 54x. 一方,「z を y で微分」したら 6y, 「y を x で微分」したら 3 なので掛けると 18y となりますが, y = 3x であったことを思い出すと 54x となり, 等式が成り立つことが分かります.

お礼

ありがとうございました！　もういちどかんがえてみます！