高校数学減衰振動

質問

曲線C：　f(x)＝e ^xsinx
Cとx　軸とで囲まれた面積をSnとする。
Snを求めよ。

Sn+1=∮[nπ→（n＋１) ]f(x)dxで、t=x-πと置換してSnをだしていたんですがどのようにこの式をだすのかがわかりません。

また、別解がありましたらよろしくお願いします。

回答No.4

naniwacchi

#3です。

＞すいません。確かにあいまいでした。「式の導出」のほうですね。
＞x=t+πがぱっと頭にでてきません。
うーん、これはある意味「気づき」の世界になってくるので、
はじめに載せていた参考URLのように、ある程度関数自身を解析してみないと
導けないようにも思います。
「解析」というのは、#3の回答で書いていた等間隔になっているといった内容です。

＞そうなんですね。増幅曲線ですか。はじめてききました。
減衰振動は、xが大きくなると値が小さくなる場合ですね。
いまは逆なので、増幅振動（曲線というよりは振動ですね＾＾；）というわけです。

「減衰」や「増幅」ということに気づいていると、
その「規則性」から上の x＝ t+πにもたどりつけるかもしれませんね。
（ここでいう規則性とは、等比になっているということです）

あいまいさも残る感じになっているかもしれません。
また、何かあれば、聞いてください。＾＾；

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞＞「積分区間を合わせる」ということです。
＞何と合わせるのかというと、S(n)の区間　(n-1)π≦ x≦ nπです。
＞それはわかるのですが、この式のだしかたがわかりません。

「だしかた」とは、どのようなことを指しているのでしょうか？
言葉があいまいで、何に対する「だしかた」なのかわかりません。＞_＜
先の回答のように「式の導出」ではなく、「考え方」という意味ですか？

「考え方」というか見るポイントとしては、
・曲線：y＝ e^x* sin(x)と x軸との交点が
x＝ nπ（n＝ 0, 1, 2,・・・）と周期的になっていること。

・極値をとる点も x＝ nπ+ 3π/4と周期的になっており、
そのときの yの値は nが 1大きくなるたびに e^π倍となっていること。
（これはまさに「増幅曲線」の意）

これらの事実から類推して、それが正しいことを計算で示しているという感じですね。

部分積分を繰り返して使う例ですが、典型的なのは次の積分です。
I(n)＝ ∫[0→π/2] sin^n(x) dx

部分積分を用いて計算すると、I(n)と I(n-2)の漸化式が導かれます。
1つ飛ばしになっているので、nが偶数の場合と奇数の場合で場合分けが必要です。
この問題は「古典」なので、検索すれば計算過程は出てくると思います。

補足

すいません。確かにあいまいでした。「式の導出」のほうですね。x=t+πがぱっと頭にでてきません。

＞極値をとる点も x＝ nπ+ 3π/4と周期的になっており、
そのときの yの値は nが 1大きくなるたびに e^π倍となっていること。
（これはまさに「増幅曲線」の意）

そうなんですね。増幅曲線ですか。はじめてききました。

＞部分積分を繰り返して使う例ですが、典型的なのは次の積分です。
I(n)＝ ∫[0→π/2] sin^n(x) dx

よくみかけます。こういう問題はバリエーションが限られていますよね。

よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

置換積分で「置き換える」ところをしっかりみれれば、
計算自体はたいしたものではないですね。＾＾

「面積」なので、参考URLの中でも記述されているように絶対値がつきますね。
S(n+1)＝∫[nπ→(n+1)π] e^x* |sin(x)| dx

で、やろうとしていることは、「積分区間を合わせる」ということです。
何と合わせるのかというと、S(n)の区間　(n-1)π≦ x≦ nπです。
x＝ t+πとした方がわかりよいのかもしれません。
置換を実行すると、
S(n+1)
＝∫[(n-1)π→nπ] e^(t+π)* |sin(t+π)| dt
＝∫[(n-1)π→nπ] e^t* e^π* |-sin(t)| dt
＝ e^π*∫[(n-1)π→nπ] e^t* |sin(t)| dt
＝ e^π* S(n)

あとは S(1)を求めて、等比数列の一般項を導くだけです。
参照URLでは、この漸化式が図形的に示していることを感覚的にですが補足しています。

被積分関数が指数関数と三角関数の組み合わせとなっている問題では、
部分積分を繰り返し実行することで漸化式を導くことが多いですね。
ただ、その手の問題で出てくる　nは　sin^n(x)のように「n乗」という形で出てくる場合です。

いまの　nは単に積分区間を表しているだけなので、そんな手間なことはしなくてもよいわけです。

補足

詳しい回答ありがとうございます。
＞「積分区間を合わせる」ということです。
何と合わせるのかというと、S(n)の区間　(n-1)π≦ x≦ nπです。

それはわかるのですが、この式のだしかたがわかりません。

＞被積分関数が指数関数と三角関数の組み合わせとなっている問題では、
部分積分を繰り返し実行することで漸化式を導くことが多いですね。
ただ、その手の問題で出てくる　nは　sin^n(x)のように「n乗」という形で出てくる場合です。

具体的な問題をあげてくれれば助かります。
注文おおくてすいません。
よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

似たような質問が・・・と思って見返してみたら、同じ内容でした。
f(x)＝　0となる点が周期的に出てきているところを利用していますね。

一度、読んでみてください。＾＾
http://okwave.jp/qa/q5763407.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5763407.html

補足

回答ありがとうございます。こんばんわ。
参考になったんですが、対応のさせ方がよくわかりませんでした。
よろしくおねがいします。