数学 放物線

質問

xy平面上の2つの放物線
C1:y=-x^2+4x
C2:y=x^2-2xがあります
点P(x1.y1)がC1上を原点からC1.C2の原点とは異なる交点Aまで動くとき、三角形ABP(Bの座標は1.-1)の面積の最大値とそのときのPの座標を教えてください

回答No.6

noname#215361

ANo.1のリベンジです。

-x^2+4x=x^2-2x→2x（x-3）=0
よって、C1、C2の原点とは異なる交点Aは（3，-3^2+4*3）=（3，3）
これから、点Aと点Bを通る直線は、
y=（3+1）/（3-1）（x-3）+3=2x-3
ここで、y=-x^2+4x-（2x-3）を考える
この式は、点Aと点Bがx軸上にあると想定した場合（ABを底辺とした場合）の三角形ABPの高さを表わす（定積分と同じ発想）
但し、この場合点Aは（3，0）に、点Bは（1，0）に変換されるので、三角形ABPの底辺ABの長さは、3-1=2に変換される
y=-x^2+4x-（2x-3）=-x^2+2x+3=-（x-1）^2+4－(1)
これは、x=1のときに最大値4をとるので、x=1のときに三角形ABPの面積も最大になる
このとき、
三角形ABPの底辺ABの長さは、上で触れた通り2に変換
三角形ABPの高さは、上で触れた通り4に変換（(1)の最大値）
以上から、
三角形ABPの面積の最大値は、2*4/2=4
点Pの座標は、（1，-1^2+4*1）=（1，3）

なお、元の（変換前の）点Bから三角形ABPの底辺をBPとすると、その長さは-1^2+4*1-（-1）=4になり、
また、三角形ABPの高さを、3-1=2としても、
三角形ABPの面積の最大値は、4*2/2=4となって、同じ結果が得られる

回答No.5

noname#215361

ANo.1の再訂正です。

C1、C2の原点とは異なる交点を（3，0）だと勘違いしていたので、全く誤った回答になっていました。
大変失礼致しました。

回答No.4

noname#215361

ANo.1の訂正です。

-x^2+4x=x^2-2x→2x（x-3）=0
よって、C1、C2の原点とは異なる交点Aは（3，-3^2+4*3）=（3，3）
なお、この誤りは、大勢には影響ありません。

回答No.3

yyssaa

＞-x^2+4x=x^2-2x、(x-3)x=0、3^2-2*3=3から交点AはA(3,3)。
直線ABは(y-3)/(x-3)=(3+1)/(3-1)からy=2x-3。
線分ABの長さはAB=√(2^2+4^2)=2√5
点P(x1,y1)と直線ABとの距離(dとする)は、点と直線の距離の公式から
d=|2x1-y1-3|/√5
三角形ABPの面積(Sとする)はS=(1/2)*AB*d=(1/2)*2√5*|2x1-y1-3|/√5
=|2x1-y1-3|
y1=-x1^2+4x1を代入、S=|x1^2-2x1-3|、見難いのでx1をxと書き直すと
S=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|
y=(x-1)^2-4のグラフは頂点(1,-4)、点(-1,0)及び点(1,0)でx軸と交差
する下に凸の二次曲線であり、このグラフの-1≦x≦3の部分をx軸を
中心にy軸の正の側に折り返した曲線が|(x-1)^2-4|のグラフとなる。
x(=x1)の取り得る範囲は0≦x(=x1)≦3であり、y=|(x-1)^2-4|のグラフの
極大点(y=(x-1)^2-4の極小点×(-1))のx座標はその範囲に含まれるので、
Sはx=1で最大となり、そのときのPのy座標はy=-x^2+4x=-1^2+4=3。
以上より三角形ABPの面積の最大値は4、そのときP=P(1,3)・・・答

回答No.2

gohtraw

-x^2+4x=x^2-2x とおくと
２ｘ＾２－６ｘ＝０
２ｘ（ｘ－３）＝０
ｘ＝０、３
よってC1とC2の交点は（０，０）および（３，３）となり、点Aは
（３，３）である。

直線ABの式は（１、－１）および（３，３）を通る直線の式なので
ｙ＝２ｘ－３

線分ABの長さは
√（２＾２＋４＾２）＝２√５

線分ABを△ABPの底辺と考えると、点PからABにおろした垂線の長さ
が最大のとき△ABPの面積は最大になる。点と直線の距離の公式を
用いて点P(ｘ、－ｘ＾２＋４ｘ）と直線ｙ＝２ｘ－３の距離を計算
（ｘの二次式になると思う）し、その最大値を０＜＝ｘ＜＝３の範囲
で求める。

△ABPの面積はABの長さに上記の垂線の長さを掛け、２で割る。

回答No.1

noname#215361

-x^2+4x=x^2-2x→2x（x-3）=0
よって、C1、C2の原点とは異なる交点Aは（3，0）
点Bと点Pを通る直線は、
y=（-x1^2+4x+1）/（x1-1）*（x-1）-1
これと、x軸（y=0）の交点をQ（x2，0）とすると、
（-x1^2+4x+1）/（x1-1）*（x2-1）-1=0
これから、x2=（x1^2-5x1）/（x1^2-4x1-1）
三角形ABPの面積は、三角形ABQと三角形APQの和になる
よって、三角形ABPの面積は、底辺（3-x2）を共有し、三角形ABQの高さは1、三角形APQの高さは（-x1^2+4x1）であるから、
（3-x2）*（1-x1^2+4x1）/2
=｛3-（x1^2-5x1）/（x1^2-4x1-1）｝*（1-x1^2+4x1）/2
=（3-2x1^2+7x1）/2
=-（x1-7/4）^2+73/16
以上から、x1＝7/4、y1=（7/4）^2+4*7/4=161/16のとき、
面積の最大値は73/16、点Pの座標は（7/4，161/16）