高校数学、解答の書き方、記号（変数）の設定（１）

質問

（問題）
曲線ｙ＝e^(-x)sinx(x≧０）とｘ軸に囲まれた図形で、ｘ軸の上側にある部分の面積をｙ軸に近いほうから順にS０、S1、S2,,,Sn、、、とするとき、lim（ｎ→∞）Σ（ｋ＝０～ｎ）Skを求めよ。（問題の解説というより、その解答の書き方、記号（変数）の使い方について聞きたいです）
(1)「最初にｎ＝０、１、２、、、、とする。」とあるのですが、なぜそのように設定することができるのでしょうか？
(2)「２ｎπ（後ろはパイ）≦ｘ≦（２ｎ＋１）πであり、」とあるのですが、この設定はどのように考えているのですか？単位円を書いて考えると、０からπのように、（偶数）πから（奇数）πのときが該当するとわかったのですが、どのように考えて、２ｎπ（後ろはパイ）≦ｘ≦（２ｎ＋１）πとしているのでしょうか?

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「設定」というおかしな言葉を繰り返しお使いですが、「設定」なんて概念は、この問題に限らず、数学とはおよそ縁がありません。そういう発想はやめるべきでしょうね。

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(1)最初に「ｎ＝０、１、２、、、、とする。」と書いてあるのは、「以下の話では文字"n"で自然数を表すことにするよ」という、単にそれだけの意味です。勝手にそう決めた、というだけなんですから、「できるのでしょうか」と問われても、「そう決めて何がいけない？」と答えるしかない。「設定」なんて話、無関係です。
　で、「文字"n"で自然数を表すことに」したことの有り難みが初めて現れるのは、「解答」の4行目において、方程式sin(x)=0のx≧0における解が書いてあるところ。解が簡単に書き表せる、という事がその有り難みです。なので、必ずしも最初の行に「ｎ＝０、１、２、、、、とする。」と書かなくたって、4行目の後に「ただし、ｎ＝０、１、２、、、、とする。」と書いておけば間に合う訳です。
(2) しっかりグラフ（写真の右端にちょっと写ってる）を見て、「ｘ軸の上側にある部分」がどこなのかを読み取らなくちゃダメです。「この色を塗ったとこ」なんてボンヤリ見ていては駄目で、x軸に沿って、xの値が幾らの所から幾らのところまでがその「部分」なのか、しっかり考えるんです。
　で、「文字"n"で自然数を表すことに」したのだから、「ｘ軸の上側にある部分」とは「２ｎπ≦ｘ≦（２ｎ＋１）πの部分だ」と表せる。これは、問題の関数y=(e^(-x))sin(x)がそういう性質を持っている、ということである。勝手にナニカを「設定」する余地は全くありません。
　さて、この部分における「文字"n"で自然数を表すことに」したことの有り難みは、「ｘ軸の上側にある部分」という条件を、このように具体的かつ簡潔に言い換えられる、ということです。

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　ただ、写真の「解答」にはひとつダメな点がある。それは、sin(x)=0の解として x = nπ と書いた"n"と、「ｘ軸の上側にある部分」を表す「２ｎπ≦ｘ≦（２ｎ＋１）π」に出て来る"n"とは別物だという点です。ひとつの文字"n"を2通りの意味に使っているんです。だから、両方の"n"に同じ数値を代入したらワケガワカラナくなる。stomachmanが採点するなら、ここは減点ですね。

　文句無しにやるには、まず、x≧0 であるような sin(x)=0 の解として「x=nπ (ただし n=0, 1, …とする）であるが、これはx =2mπ, x=(2m+1)π (ただし m=0,1,2,…とする)とも表せる」と書いておく。そうすれば、「ｘ軸の上側にある部分とは、2mπ≦ｘ≦(2m+1)πの部分である」と書ける。これならOKです。

お礼

ありがとうございました