inf{f(x);x∈X}+inf{g(x);x∈X}≦inf{f(x)+g(x);x∈X}の証明は?

質問

R⊃X(≠Φ)、実関数f,g:X→Rに於いて、f(X),g(X)を有界なRの部分集合とする時、
inf{f(x);x∈X}+inf{g(x);x∈X}≦inf{f(x)+g(x);x∈X}が成立する事を示したいのですがどうすればいいのでしょうか?
(直観的には分かりますが)

回答No.8

adinat

お礼でも補足でもどちらでもよいので、♯6のお礼を書かれた日を出来れば教えていただいてもよいですか。お礼通知メールがどうも遅れることが多いようで、少し気になっているので。

♯6に書かれていることですが、infの定義をよく復習されるべきです。ちゃんと回答にも念のため書いたのですけどねえ。

任意のxに対してα≦f(x)を成立させるαをfの下界といいます。明らかに任意の関数fに対して、可界の集合は半区間(-∞,＊]になります。この区間の右端＊のことをfの下限といいます。すなわち最大の下界のことを下限（infimum）というのです。このことから、fの下限inf(f)とfの任意の下界αに対して、α≦inf(f)が成り立ちます。

これでも理解できないようでしたら、僕では助けになれません。

回答No.7

noname#62967

#5です。#6さんの証明がわかりやすくて、とてもいいと思いました。

> 直感的にはinfとはminと同じようなものであるのだから、一番小さい部分を足してきたものよりは、大きくなるのだ、という感じです。

私は、与えられた不等式に「fとgを同時に小さくするよりも、別々に小さくしたほうが、より小さい値を実現できる」みたいなイメージを持ちました。そして、infの定義に直接的な縁もない「加法」が入っている、右辺の「歪な形」のほうを主役に考えてしまいました。直感を言葉に直したい気持ちではいますが、最初の直感の方向が間違っていました。

もはや無意味ですが、#5で意図したのは、
> ∃x0∈X;f(x0)+g(x0)<α"+ε
から、
inf(f)+inf(g)≦f(x0)+g(x0)<α"+ε
となり、ε>0が任意だから、
inf(f)+inf(g)≦α"
というものです。
存在が確認できるx0さんに登場してもらうことで、右辺の「抱き合わせ販売」を解除しようとしました。

#1-#4さんにつきましては、#6さんのような証明に誘導するつもりでしたら、すみません。場を乱してしまったことをお詫びいたします。

回答No.6

adinat

任意のxに対して、infの定義より、
inf(f)≦f(x)
inf(g)≦g(x)
です。したがって、任意のxに対して、
inf(f)+inf(g)≦f(x)+g(x)
です。よって、inf(f)+inf(g)はf+gのひとつの下界ですが、infは最大の下界のことだから、inf(f)+inf(g)≦inf(f+g)です。

ε-δでやってもよいですが、少し面倒ですし、上の議論の方がinfの意味が明確になっていていいでしょう。直感的にはinfとはminと同じようなものであるのだから、一番小さい部分を足してきたものよりは、大きくなるのだ、という感じです。

inf(f)とはα≦f(x)を満たすαのうち、最大のもの、という理解で十分です。ε>0を使えば、inf(f)+εはもはや下界ではない、つまり￢(inf(f)+ε<f)というわけですね。記号論理を使いこなすことも重要ですが、直感的に分かる、ということをきちんと言葉に直すことの方がより重要です。そうでないと、直感的に分かっている、というのは、ただなんとなく正しいような気がする、と言っているのと変わらないです。

お礼

御回答有難うございます。

> よって、inf(f)+inf(g)はf+gのひとつの下界ですが、
> infは最大の下界のことだから、inf(f)+inf(g)≦inf(f+g)です。
ここの所がどうしてもしっくり来ません(なんかごまかされてるようで)。

「inf(f)≦f(x)
inf(g)≦g(x)
です。したがって、任意のxに対して、
inf(f)+inf(g)≦f(x)+g(x)」
は勿論納得です。
h(x):=f(x)+g(x)とおくと、
h(x)≦inf{h(x)∈R;x∈X}…(*)とは言えませんよね?
(h(x)≦sup{h(x)∈R;x∈X}なら言えますが)
(*)が言えれば後はすんなり
inf{f(x);x∈X}+inf{g(x);x∈X}≦inf{f(x)+g(x);x∈X}が言えるのですが、、、

回答No.5

noname#62967

> (ii)" R∋r>α"ならrは{ f(x)+g(x) : x ∈ X }の下界ではない
なら、「任意のε>0に対して、α"+εは{ f(x)+g(x) : x ∈ X }の下界ではない」ですよね。下界でないってことは・・。
すると、fとgをつないでる鎖がとれるので、
> (直観的には分かりますが)
でイメージされていることが使えると思います。
あとは、ε>0は任意だから・・。

お礼

有難うございます。

>> (ii)" R∋r>α"ならrは{ f(x)+g(x) : x ∈ X }の下界ではない
> なら、「任意のε>0に対して、α"+εは{ f(x)+g(x) : x ∈ X }の下界ではない」で
> すよね。下界でないってことは・・。

∃x0∈X;f(x0)+g(x0)<α"+ε
f(x0)+g(x0)-ε<α"

ですよね。

うーん、ここから先に進めません。

回答No.4

koko_u_

>(略)となりますが、、、

それは単に置き換えただけ、αが下限となることを f(x) と X で書き直しましょう。

回答No.3

Tacosan

「f(X) が有界なら inf{f(x); x ∈ X} が存在する」のはいいんだっけ?
まあ, これがいいならほとんど自明なんだけど.

回答No.2

koko_u_

>(略)と表す。というのがinfの定義ですよね。
それを今回の場合 A = { f(x) : x ∈ X } などに対して書き下すとどうなりますか？

お礼

> >(略)と表す。というのがinfの定義ですよね。
> それを今回の場合 A = { f(x) : x ∈ X } などに対して書き下すとどうなりますか
> ？

それぞれ

(i) αが{ f(x) : x ∈ X }(⊂R)の下界
(ii) R∋r>αならrは{ f(x) : x ∈ X }の下界ではない
の時、
α:=inf{ f(x) : x ∈ X }

(i)' α'が{ g(x) : x ∈ X }(⊂R)の下界
(ii)' R∋r>α'ならrは{ g(x) : x ∈ X }の下界ではない
の時、
α':=inf{ g(x) : x ∈ X }

(i)" α"が{ f(x)+g(x) : x ∈ X }(⊂R)の下界
(ii)" R∋r>α"ならrは{ f(x)+g(x) : x ∈ X }の下界ではない
の時、
α":=inf{ f(x)+g(x) : x ∈ X }

となりますが、、、

回答No.1

koko_u_

まる投げせずに、できた所までを補足欄にどうぞ。
まったくできていない場合は、inf の定義を読み直して下さい。

お礼

> まる投げせずに、できた所までを補足欄にどうぞ。
うーん、すんません。わかりません。

> まったくできていない場合は、inf の定義を読み直して下さい。
下限の定義は
(i) αがA(⊂R)の下界
(ii) R∋r>αならrはAの下界ではない
の時、
α:=infA
と表す。というのがinfの定義ですよね。